河北省南和县第一中学2024届强基计划模拟考试第一部分数学试题卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，且、都是全集（为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）AB或CD2双曲线的一条渐近线方程为，那么它的离心率为（ ）ABCD3平行四边形中，已知，点、分别满足，且，则向量在上的投影为（ ）A2BCD4已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5如图，在中，点，分别为，的中点，若，且满足，则等于（ ）A2BCD6第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ）ABCD7函数在内有且只有一个零点，则a的值为（ ）A3B3C2D28若为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（ ）AEBFCGDH9已知函数是奇函数，且，若对，恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD10已知双曲线：（，）的焦距为.点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（ ）ABC2D311已知正方体的棱长为1，平面与此正方体相交.对于实数，如果正方体的八个顶点中恰好有个点到平面的距离等于，那么下列结论中，一定正确的是ABCD12已知函数，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知集合，则_.14的角所对的边分别为，且，若，则的值为_.15已知边长为的菱形中，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点，在同一个球面上，则该球的表面积为_.16已知函数的最小值为2，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知曲线，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值18（12分）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.19（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.表中，.（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.20（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.21（12分）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为（，为常数），离心率等于0.8，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点求椭圆的标准方程；若时，求实数；试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论22（10分）在四棱锥的底面是菱形， 底面， 分别是的中点， .（）求证： ；（）求直线与平面所成角的正弦值；（III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解题分析】根据韦恩图可确定所表示集合为，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合，根据补集和交集定义可求得结果.【题目详解】由韦恩图可知：阴影部分表示，.故选：.【题目点拨】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.2D【解题分析】根据双曲线的一条渐近线方程为，列出方程，求出的值即可.【题目详解】双曲线的一条渐近线方程为，可得，双曲线的离心率.故选：D.【题目点拨】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.3C【解题分析】将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【题目详解】解：，得，则向量在上的投影为.故选：C.【题目点拨】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.4D【解题分析】根据复数运算，求得，再求其对应点即可判断.【题目详解】，故其对应点的坐标为.其位于第四象限.故选：D.【题目点拨】本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.5D【解题分析】选取为基底，其他向量都用基底表示后进行运算【题目详解】由题意是的重心， ，故选：D【题目点拨】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作6A【解题分析】根据题意，五人分成四组，先求出两人组成一组的所有可能的分组种数，再将甲乙组成一组的情况，即可求出概率.【题目详解】五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，所有可能的分组共有种，甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关，故甲和乙恰好在同一组的概率是.故选：A.【题目点拨】本题考查组合的应用和概率的计算，属于基础题.7A【解题分析】求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【题目详解】，若，在单调递增，且，在不存在零点；若，在内有且只有一个零点，.故选:A.【题目点拨】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.8C【解题分析】由于在复平面内点的坐标为，所以，然后将代入化简后可找到其对应的点.【题目详解】由，所以，对应点.故选：C【题目点拨】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.9A【解题分析】先根据函数奇偶性求得，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.【题目详解】因为函数是奇函数，所以函数是偶函数.，即，又，所以，.函数的定义域为，所以，则函数在上为单调递增函数.又在上，所以为偶函数，且在上单调递增.由，可得，对恒成立，则，对恒成立，得，所以的取值范围是.故选：A.【题目点拨】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.10A【解题分析】由点到直线距离公式建立的等式，变形后可求得离心率【题目详解】由题意，一条渐近线方程为，即，即，故选：A【题目点拨】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础11B【解题分析】此题画出正方体模型即可快速判断m的取值.【题目详解】如图（1）恰好有3个点到平面的距离为；如图（2）恰好有4个点到平面的距离为；如图（3）恰好有6个点到平面的距离为.所以本题答案为B.【题目点拨】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.12A【解题分析】根据实数满足的等量关系，代入后将方程变形，构造函数，并由导函数求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围.【题目详解】函数，由题意得，即，令，在上单调递增，在上单调递减，而，当且仅当，即当时，等号成立，.故选：A.【题目点拨】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解题分析】由集合和集合求出交集即可.【题目详解】解：集合，.故答案为：.【题目点拨】本题考查了交集及其运算，属于基础题.14【解题分析】先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把转化为与边有关的等式，结合可求的值.【题目详解】因为，故，因为，所以.由正弦定理可得三角形外接圆的半径满足，所以即.因为，解得或（舍）.故答案为：.【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题.15【解题分析】分别取，的中点，连接，由图形的对称性可知球心必在的延长线上，设球心为，半径为，由勾股定理可得、，再根据球的面积公式计算可得；【题目详解】如图，分别取，的中点，连接，则易得，由图形的对称性可知球心必在的延长线上，设球心为，半径为，可得，解得，.故该球的表面积为.故答案为：【题目点拨】本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题.16【解题分析】首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号