江苏省南通如皋市2024届高三下学期第五次重点考试数学试题注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）ABCD2已知实数满足约束条件，则的最小值是ABC1D43已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）ABCD4国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A12个月的PMI值不低于50%的频率为B12个月的PMI值的平均值低于50%C12个月的PMI值的众数为49.4%D12个月的PMI值的中位数为50.3%5已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD6如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A20B27C54D647已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为（ ）ABCD8已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意， ，都有，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD9一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD10已知定义在上的函数的周期为4，当时，则（ ）ABCD11已知a，bR，则（ ）Ab3aBb6aCb9aDb12a12设函数，则函数的图像可能为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是_（结果用最简分数表示）14设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为_.15如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且=, 那么椭圆的方程是 16已知i为虚数单位，复数，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，记的最小值为.（）解不等式；（）若正实数，满足，求证：.18（12分）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由.设正数等比数列的前项和为，是等差数列，_，是否存在正整数，使得成立？19（12分）已知椭圆：（），点是的左顶点，点为上一点，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与的另一个交点为（异于点），是否存在直线，使得以为直径的圆经过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.20（12分）已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.21（12分）已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数没有零点，求实数的取值范围.22（10分）已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.【题目详解】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.故，.故，故，.故选：.【题目点拨】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.2、B【解题分析】作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，设，则，易知当直线经过点时，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故选B3、B【解题分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线与直线的距离，根据圆与双曲线的右支没有公共点，可得，解得即可【题目详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，是直线上任意一点，则直线与直线的距离，圆与双曲线的右支没有公共点，则，即，又故的取值范围为，故选：B【题目点拨】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4、D【解题分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.【题目详解】对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为，故A正确；对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确；对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，；对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误故选：D.【题目点拨】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.5、D【解题分析】由恒成立，等价于的图像在的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案.【题目详解】因为由恒成立，分别作出及的图象，由图知，当时，不符合题意，只须考虑的情形，当与图象相切于时，由导数几何意义，此时，故.故选：D【题目点拨】此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.6、B【解题分析】设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。【题目详解】设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，则，解得：故选：B【题目点拨】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。7、D【解题分析】双曲线的渐近线方程是，所以，即 ， ，即 ，故选D.8、A【解题分析】根据题意，分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数，则不等式等价于，解得的取值范围，即可得答案.【题目详解】解:因为函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，因为对任意， ，都有，所以函数在上为减函数，则，解得：.即实数的取值范围是.故选：A.【题目点拨】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题.9、B【解题分析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积【题目详解】由题意原几何体是正三棱柱，故选：B【题目点拨】本题考查三视图，考查棱柱的体积解题关键是由三视图不愿出原几何体10、A【解题分析】因为给出的解析式只适用于，所以利用周期性，将转化为，再与一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.【题目详解】定义在上的函数的周期为4，当时，.故选：A.【题目点拨】本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.11、C【解题分析】两复数相等，实部与虚部对应相等.【题目详解】由，得，即a，b1b9a故选：C【题目点拨】本题考查复数的概念，属于基础题.12、B【解题分析】根据函数为偶函数排除，再计算排除得到答案.【题目详解】定义域为： ，函数为偶函数，排除 ，排除 故选【题目点拨】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】依据古典概型的计算公式，分别求“任取两个数”和“任取两个数，和是质数”的事件数，计算即可。【题目详解】“任取两个数”的事件数为，“任取两个数，和是质数”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3个，所以任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是。【题目点拨】本题主要考查古典概型的概率求法。14、【解题分析】利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值【题目详解】解：设点，其中，由，可设，导数为，由，可得，可得或，由，可得，即，可得，由可得函数递减；由，可得函数递增，可得时，函数取得最小值，且为，则的最小值为1故答案为：1【题目点拨】本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题15、【解题分析】由题意可设椭圆方程为：短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在轴上又，椭圆的方程为，故答案为考点：椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识16、【解题分析】先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果.【题目详解】故答案为：.【题目点拨】本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）（）见证明【解题分析】()由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；()首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.【题目详解】（）当时，即，；当时，；当时，即，.综上所述，原不等式的解集为.（），当且仅当时，等号成立.的最小值.，即，当且仅当即时，等号成立.又，时，等号成立.【题目点拨】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18、见解析【解题分析】根据等差数列性质及、，可求得等差数列的通项公式，由即可求得的值；根据等式，变形可得，分别讨论取中的一个，结合等比数列通项公式代入化简，检验是否存在正整数的值即可.【题目详解】在等差数列中，公差，若存在正整数，使得成立，即成立，设正数等比数列的公比为的公比为，若选，当时，满足成立.若选，方程无正整数解，不存在正整数使得成立.若选，