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浙江省杭州市北斗联盟2024届高考教育联盟5月期初联考数学试题试卷注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1如图所示的程序框图,若输入,则输出的结果是( )ABCD2某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查,利用列联表,由计算得,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是( )A有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星无关”D在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星有关”3如图,在直三棱柱中,点分别是线段的中点,分别记二面角,的平面角为,则下列结论正确的是( )ABCD4一个组合体的三视图如图所示(图中网格小正方形的边长为1),则该几何体的体积是( )ABCD5函数的最小正周期是,则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是( )ABCD6已知函数,关于x的方程f(x)a存在四个不同实数根,则实数a的取值范围是( )A(0,1)(1,e)BCD(0,1)7函数在内有且只有一个零点,则a的值为( )A3B3C2D28已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )ABCD9复数的虚部是 ( )ABCD10阿基米德(公元前287年公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为( )ABCD11设a,b,c为正数,则“”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不修要条件12已知双曲线的左右焦点分别为,以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为,若直线与圆相切,则双曲线的渐近线方程是( )A BC D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13在平面直角坐标系中,若双曲线(,)的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为_.14已知,记,则的展开式中各项系数和为_15设数列的前n项和为,且,若,则_.16已知是定义在上的奇函数,当时,则不等式的解集用区间表示为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知是各项都为正数的数列,其前项和为,且为与的等差中项(1)求证:数列为等差数列;(2)设,求的前100项和18(12分)在平面直角坐标系中,已知点,曲线:(为参数)以原点为极点,轴正半轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.()判断点与直线的位置关系并说明理由;()设直线与曲线的两个交点分别为,求的值.19(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,为等边三角形,平面平面ABCD,M,N分别是线段PD和BC的中点.(1)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值;(2)求二面角D-AP-B的余弦值;(3)试判断直线MN与平面PAB的位置关系,并给出证明.20(12分)已知函数的最小正周期是,且当时,取得最大值(1)求的解析式;(2)作出在上的图象(要列表)21(12分)已知函数.(1)若在上是减函数,求实数的最大值;(2)若,求证:.22(10分)在如图所示的四棱锥中,四边形是等腰梯形,平面,. (1)求证:平面;(2)已知二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】列举出循环的每一步,可得出输出结果.【题目详解】,不成立,;不成立,;不成立,;成立,输出的值为.故选:B.【题目点拨】本题考查利用程序框图计算输出结果,一般要将算法的每一步列举出来,考查计算能力,属于基础题.2、B【解题分析】通过与表中的数据6.635的比较,可以得出正确的选项.【题目详解】解:,可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”,故选B.【题目点拨】本题考查了独立性检验的应用问题,属于基础题.3、D【解题分析】过点作,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案【题目详解】解:因为,所以,即过点作,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则,0,0,1,设平面的法向量, 则,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量,故选:D【题目点拨】本题考查二面角的大小的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题4、C【解题分析】根据组合几何体的三视图还原出几何体,几何体是圆柱中挖去一个三棱柱,从而解得几何体的体积.【题目详解】由几何体的三视图可得,几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱,故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积,即,故选C.【题目点拨】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题,解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体,然后根据几何体的结构求出其体积.5、D【解题分析】由三角函数的周期可得,由函数图像的变换可得, 平移后得到函数解析式为,再求其对称轴方程即可.【题目详解】解:函数的最小正周期是,则函数,经过平移后得到函数解析式为,由,得,当时,.故选D.【题目点拨】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换,属基础题.6、D【解题分析】原问题转化为有四个不同的实根,换元处理令t,对g(t)进行零点个数讨论.【题目详解】由题意,a2,令t,则f(x)a记g(t)当t2时,g(t)2ln(t)(t)单调递减,且g(2)2,又g(2)2,只需g(t)2在(2,+)上有两个不等于2的不等根则,记h(t)(t2且t2),则h(t)令(t),则(t)2(2)2,(t)在(2,2)大于2,在(2,+)上小于2h(t)在(2,2)上大于2,在(2,+)上小于2,则h(t)在(2,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减由,可得,即a2实数a的取值范围是(2,2)故选:D【题目点拨】此题考查方程的根与函数零点问题,关键在于等价转化,将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.7、A【解题分析】求出,对分类讨论,求出单调区间和极值点,结合三次函数的图像特征,即可求解.【题目详解】,若,在单调递增,且,在不存在零点;若,在内有且只有一个零点,.故选:A.【题目点拨】本题考查函数的零点、导数的应用,考查分类讨论思想,熟练掌握函数图像和性质是解题的关键,属于中档题.8、C【解题分析】由三视图可知,几何体是一个三棱柱,三棱柱的底面是底边为,高为的等腰三角形,侧棱长为,利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径,根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心,求出球的半径,即可求解球的表面积.【题目详解】由三视图可知,几何体是一个三棱柱,三棱柱的底面是底边为,高为的等腰三角形,侧棱长为,如图:由底面边长可知,底面三角形的顶角为,由正弦定理可得,解得, 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心,所以,该几何体外接球的表面积为:.故选:C【题目点拨】本题考查了多面体的内切球与外接球问题,由三视图求几何体的表面积,考查了学生的空间想象能力,属于基础题.9、C【解题分析】因为 ,所以的虚部是 ,故选C.10、D【解题分析】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【题目详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为,所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的,所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【题目点拨】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.11、B【解题分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【题目详解】解:,为正数,当,时,满足,但不成立,即充分性不成立,若,则,即,即,即,成立,即必要性成立,则“”是“”的必要不充分条件,故选:【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的性质是解决本题的关键12、B【解题分析】先设直线与圆相切于点,根据题意,得到,再由,根据勾股定理求出,从而可得渐近线方程.【题目详解】设直线与圆相切于点,因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形,所以,又因为圆与直线的切点为,所以,又,所以,因此,因此有,所以,因此渐近线的方程为.故选B【题目点拨】本题主要考查双曲线的渐近线方程,熟记双曲线的简单性质即可,属于常考题型.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】利用,解出,即可求出双曲线的渐近线方程.【题目详解】,且,该双曲线的渐近线方程为:.故答案为:.【题目点拨】本题考查了双曲线离心率与渐近线方程,考查了双曲线基本量的关系,考查了运算能力,属于基础题.14、【解题分析】根据定积分的计算,得到,令,求得,即可得到答案【题目详解】根据定积分的计算,可得,令,则,即的展开式中各项系数和为.【题目点拨】本题主要考查了
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