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甘肃省武威第二中学2024届全国普通高中高三二月大联考数学试题注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知函数(,且)在区间上的值域为,则( )ABC或D或42已知复数满足,则( )ABCD3已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线交椭圆于A,B两点,交y轴于点M,若、M是线段AB的三等分点,则椭圆的离心率为( )ABCD4等比数列的前项和为,若,则( )ABCD5已知定义在R上的函数(m为实数)为偶函数,记,则a,b,c的大小关系为( )ABCD6九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知l丈为10尺,该楔体的三视图如图所示,其中网格纸上小正方形边长为1,则该楔体的体积为( )A10000立方尺 B11000立方尺C12000立方尺 D13000立方尺7已知集合,ByN|yx1,xA,则AB( )A1,0,1,2,3B1,0,1,2C0,1,2Dx1x28的展开式中的系数是-10,则实数( )A2B1C-1D-29已知函数,则不等式的解集为( )ABCD10已知函数,若关于的方程有4个不同的实数根,则实数的取值范围为( )ABCD11若实数满足的约束条件,则的取值范围是( )ABCD12已知双曲线的左、右焦点分别为、,抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点,且,则双曲线的离心率为( )A或B或C或D或二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13在数列中,则数列的通项公式_.14已知函数对于都有,且周期为2,当时,则_.15展开式中的系数为_.(用数字做答)16将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动,其中一组指挥交通,一组分发宣传资料,则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一个组的概率为_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,为实数)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线交于,两点,线段的中点为 (1)求线段长的最小值; (2)求点的轨迹方程18(12分)如图,四棱锥中,底面是矩形,面底面,且是边长为的等边三角形,在上,且面. (1)求证: 是的中点;(2)在上是否存在点,使二面角为直角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.19(12分)设函数.(1)解不等式;(2)记的最大值为,若实数、满足,求证:.20(12分)在中,设、分别为角、的对边,记的面积为,且(1)求角的大小;(2)若,求的值21(12分)已知的内角、的对边分别为、,满足.有三个条件:;.其中三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件完成下面两个问题:(1)求;(2)设为边上一点,且,求的面积.22(10分)某公司打算引进一台设备使用一年,现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元,乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修,对于每台设备,一年间三次及三次以内免费维修,三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数,得到下面的频数分布表,以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.维修次数23456甲设备5103050乙设备05151515(1)设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和,求和的分布列;(2)若以数学期望为决策依据,希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低,且维修次数尽量少,则需要购买哪种设备?请说明理由.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1C【解题分析】对a进行分类讨论,结合指数函数的单调性及值域求解.【题目详解】分析知,.讨论:当时,所以,所以;当时,所以,所以.综上,或,故选C.【题目点拨】本题主要考查指数函数的值域问题,指数函数的值域一般是利用单调性求解,侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.2A【解题分析】根据复数的运算法则,可得,然后利用复数模的概念,可得结果.【题目详解】由题可知:由,所以所以故选:A【题目点拨】本题主要考查复数的运算,考验计算,属基础题.3D【解题分析】根据题意,求得的坐标,根据点在椭圆上,点的坐标满足椭圆方程,即可求得结果.【题目详解】由已知可知,点为中点,为中点,故可得,故可得;代入椭圆方程可得,解得,不妨取,故可得点的坐标为,则,易知点坐标,将点坐标代入椭圆方程得,所以离心率为,故选:D.【题目点拨】本题考查椭圆离心率的求解,难点在于根据题意求得点的坐标,属中档题.4D【解题分析】试题分析:由于在等比数列中,由可得:,又因为,所以有:是方程的二实根,又,所以,故解得:,从而公比;那么,故选D考点:等比数列5B【解题分析】根据f(x)为偶函数便可求出m0,从而f(x)1,根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.【题目详解】解:f(x)为偶函数;f(x)f(x);11;|xm|xm|;(xm)2(xm)2;mx0;m0;f(x)1;f(x)在0,+)上单调递增,并且af(|)f(),bf(),cf(2);02;acb故选B【题目点拨】本题考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间0,+)上,根据单调性去比较函数值大小6A【解题分析】由题意,将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体,作出几何体的直观图如图所示:沿上棱两端向底面作垂面,且使垂面与上棱垂直,则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱,则三棱柱的 四棱锥的体积 由三视图可知两个四棱锥大小相等,立方丈立方尺故选A【题目点拨】本题考查三视图及几何体体积的计算,其中正确还原几何体,利用方格数据分割与计算是解题的关键7A【解题分析】解出集合A和B即可求得两个集合的并集.【题目详解】集合xZ|2x31,0,1,2,3,ByN|yx1,xA2,1,0,1,2,AB2,1,0,1,2,3故选:A【题目点拨】此题考查求集合的并集,关键在于准确求解不等式,根据描述法表示的集合,准确写出集合中的元素.8C【解题分析】利用通项公式找到的系数,令其等于-10即可.【题目详解】二项式展开式的通项为,令,得,则,所以,解得.故选:C【题目点拨】本题考查求二项展开式中特定项的系数,考查学生的运算求解能力,是一道容易题.9D【解题分析】先判断函数的奇偶性和单调性,得到,且,解不等式得解.【题目详解】由题得函数的定义域为.因为,所以为上的偶函数,因为函数都是在上单调递减.所以函数在上单调递减.因为,所以,且,解得.故选:D【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断,考查函数的奇偶性和单调性的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10C【解题分析】求导,先求出在单增,在单减,且知设,则方程有4个不同的实数根等价于方程在上有两个不同的实数根,再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.【题目详解】依题意,令,解得,故当时,当,且,故方程在上有两个不同的实数根,故,解得.故选:C.【题目点拨】本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法:(1)构造法:构造函数(易求,可解),转化为确定的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出的图象草图,数形结合求解;(2)定理法:先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.11B【解题分析】根据所给不等式组,画出不等式表示的可行域,将目标函数化为直线方程,平移后即可确定取值范围.【题目详解】实数满足的约束条件,画出可行域如下图所示:将线性目标函数化为,则将平移,平移后结合图像可知,当经过原点时截距最小,;当经过时,截距最大值,所以线性目标函数的取值范围为,故选:B.【题目点拨】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数取值范围的求法,属于基础题.12D【解题分析】设,根据和抛物线性质得出,再根据双曲线性质得出,最后根据余弦定理列方程得出、间的关系,从而可得出离心率【题目详解】过分别向轴和抛物线的准线作垂线,垂足分别为、,不妨设,则,为双曲线上的点,则,即,得,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,解得或.故选:D.【题目点拨】本题考查了双曲线离心率的求解,涉及双曲线和抛物线的简单性质,考查运算求解能力,属于中档题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【解题分析】由题意可得,又,数列的奇数项为首项为1,公差为2的等差数列,对分奇数和偶数两种情况,分别求出,从而得到数列的通项公式.【题目详解】解:,得:,又,数列的奇数项为首项为1,公差为2的等差数列,当为奇数时,当为偶数时,则为奇数,数列的通项公式,故答案为:.【题目点拨】本题考查求数列的通项公式,解题关键是由已知递推关系得出,从而确定数列的奇数项成等差数列,求出通项公式后再由已知求出偶数项,要注意结果是分段函数形式14【解题分析】利用,且周期为2,可得,得.【题目详解】,且周期为2,又当时,故答案为:【题目点拨】本题考查函数的周期性与对称性的应用,考查转化能力,属于基础题.15210【解题分析】转化,只有中含有,即得解.【题目详解】只有中含有,其中的系数为故答案为:210【题目点拨】本题考查了二项式系数的求解,考查了学生概念理解,转化划
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