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黑龙江省全国名校2024届高三第四次教学质量检测试题考试数学试题考生请注意:1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知函数,且在上是单调函数,则下列说法正确的是( )ABC函数在上单调递减D函数的图像关于点对称2设曲线在点处的切线方程为,则( )A1B2C3D43体育教师指导4个学生训练转身动作,预备时,4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时,每次都让3个学生“向后转”,若4个学生全部转到面朝正北方向,则至少需要“向后转”的次数是( )A3B4C5D64一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上,且其中一个顶点在双曲线的右顶点,则实数的取值范围是( )ABCD5以,为直径的圆的方程是ABCD6若与互为共轭复数,则( )A0B3C1D47已知正项等比数列中,存在两项,使得,则的最小值是( )ABCD8已知函数的值域为,函数,则的图象的对称中心为( )ABCD9设复数满足(为虚数单位),则在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限10设,满足约束条件,若的最大值为,则的展开式中项的系数为( )A60B80C90D12011已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )AB64CD3212函数(或)的图象大致是( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13在中,则_,的面积为_14棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合,若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上,则正三棱锥的内切球半径为_.15已知,且,则的最小值为_16已知双曲线的一条渐近线方程为,则_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知函数,其中()当时,求函数的单调区间;()设,求证:;()若对于恒成立,求的最大值18(12分)在四棱锥的底面是菱形, 底面, 分别是的中点, .()求证: ;()求直线与平面所成角的正弦值;(III)在边上是否存在点,使与所成角的余弦值为,若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.19(12分)某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质,健全促进全民健身制度性举措”,提高广大市民对全民健身运动的参与程度,推出了健身促销活动,收费标准如下:健身时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为20元(不足l小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身,设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为,健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为,且两人健身时间都不会超过3小时.(1)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量(单位:元),求的分布列与数学期望;(2)此促销活动推出后,健身馆预计每天约有300人来参与健身活动,以这两人健身费用之和的数学期望为依据,预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.20(12分)已知函数,(1)若,求的单调区间和极值;(2)设,且有两个极值点,若,求的最小值.21(12分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且曲线的极坐标方程为.(1)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为,试求点的坐标.22(10分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC90,ABAA1,M,N分别是AC,B1C1的中点求证:(1)MN平面ABB1A1;(2)ANA1B参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】根据函数,在上是单调函数,确定 ,然后一一验证,A.若,则,由,得,但.B.由,确定,再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.【题目详解】因为函数,在上是单调函数,所以 ,即,所以 ,若,则,又因为,即,解得, 而,故A错误.由,不妨令 ,得由,得 或当时,不合题意.当时,此时所以,故B正确.因为,函数,在上是单调递增,故C错误.,故D错误.故选:B【题目点拨】本题主要考查三角函数的性质及其应用,还考查了运算求解的能力,属于较难的题.2、D【解题分析】利用导数的几何意义得直线的斜率,列出a的方程即可求解【题目详解】因为,且在点处的切线的斜率为3,所以,即.故选:D【题目点拨】本题考查导数的几何意义,考查运算求解能力,是基础题3、B【解题分析】通过列举法,列举出同学的朝向,然后即可求出需要向后转的次数.【题目详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“”“”表示,利用列举法,可得下表,原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”可知需要的次数为4次.故选:B.【题目点拨】本题考查的是求最小推理次数,一般这类题型构造较为巧妙,可通过列举的方法直观感受,属于基础题.4、D【解题分析】因为双曲线分左右支,所以,根据双曲线和正三角形的对称性可知:第一象限的顶点坐标为,将其代入双曲线可解得【题目详解】因为双曲线分左右支,所以,根据双曲线和正三角形的对称性可知:第一象限的顶点坐标为,将其代入双曲线方程得:,即,由得故选:【题目点拨】本题考查了双曲线的性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平5、A【解题分析】设圆的标准方程,利用待定系数法一一求出,从而求出圆的方程.【题目详解】设圆的标准方程为,由题意得圆心为,的中点,根据中点坐标公式可得,又,所以圆的标准方程为:,化简整理得,所以本题答案为A.【题目点拨】本题考查待定系数法求圆的方程,解题的关键是假设圆的标准方程,建立方程组,属于基础题.6、C【解题分析】计算,由共轭复数的概念解得即可.【题目详解】,又由共轭复数概念得:,.故选:C【题目点拨】本题主要考查了复数的运算,共轭复数的概念.7、C【解题分析】由已知求出等比数列的公比,进而求出,尝试用基本不等式,但取不到等号,所以考虑直接取的值代入比较即可.【题目详解】,或(舍).,.当,时;当,时;当,时,所以最小值为.故选:C.【题目点拨】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值,属于基础题.8、B【解题分析】由值域为确定的值,得,利用对称中心列方程求解即可【题目详解】因为,又依题意知的值域为,所以 得,所以,令,得,则的图象的对称中心为.故选:B【题目点拨】本题考查三角函数 的图像及性质,考查函数的对称中心,重点考查值域的求解,易错点是对称中心纵坐标错写为09、A【解题分析】由复数的除法运算可整理得到,由此得到对应的点的坐标,从而确定所处象限.【题目详解】由得:,对应的点的坐标为,位于第一象限.故选:.【题目点拨】本题考查复数对应的点所在象限的求解,涉及到复数的除法运算,属于基础题.10、B【解题分析】画出可行域和目标函数,根据平移得到,再利用二项式定理计算得到答案.【题目详解】如图所示:画出可行域和目标函数,即,故表示直线与截距的倍,根据图像知:当时,的最大值为,故.展开式的通项为:,取得到项的系数为:.故选:.【题目点拨】本题考查了线性规划求最值,二项式定理,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11、A【解题分析】根据三视图,还原空间几何体,即可得该几何体的体积.【题目详解】由该几何体的三视图,还原空间几何体如下图所示:可知该几何体是底面在左侧的四棱锥,其底面是边长为4的正方形,高为4,故.故选:A【题目点拨】本题考查了三视图的简单应用,由三视图还原空间几何体,棱锥体积的求法,属于基础题.12、A【解题分析】确定函数的奇偶性,排除两个选项,再求时的函数值,再排除一个,得正确选项【题目详解】分析知,函数(或)为偶函数,所以图象关于轴对称,排除B,C,当时,排除D,故选:A【题目点拨】本题考查由函数解析式选择函数图象,解题时可通过研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性等,研究特殊的函数的值、函数值的正负,以及函数值的变化趋势,排除错误选项,得正确结论二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、 【解题分析】利用余弦定理可求得的值,进而可得出的值,最后利用三角形的面积公式可得出的面积.【题目详解】由余弦定理得,则,因此,的面积为.故答案为:;.【题目点拨】本题考查利用余弦定理解三角形,同时也考查了三角形面积的计算,考查计算能力,属于基础题.14、【解题分析】由棱长为的正四面体求出外接球的半径,进而求出正三棱锥的高及侧棱长,可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,进而求出体积与表面积,设内切圆的半径,由等体积,求出内切圆的半径【题目详解】由题意可知:多面体的外接球即正四面体的外接球作面交于,连接,如图则,且为外接球的直径,可得,设三角形 的外接圆的半径为,则,解得,设外接球的半径为,则可得,即,解得,设正三棱锥的高为,因为,所以,所以,而,所以正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,所以,设内切球的半径为,即解得:故答案为:.【题目点拨】本题考查多面体与球的内切和外接问题,考查转化与化归思想,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意借助几何体的直观图进行分析.15、【解题分析】由,先将变形为,运用基本不等式可得最小值,再求的最小值,运用函数单调性即可得到所求值.【题目详解】解:因为,且,所以 因为,所以 ,当且仅当时,取等号,所以 令,则,令,则,所以函数在上单调递增,所以所以则所求最小值为故答案为: 【题目点拨】此题考查基本不等式的运用:求最值,注意变形和满足的条件:一正二定三相等,考查利用单调性求最值,考查化简和运算能力,属于中档题.16、【解题
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