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西宁市第四中学2024届下学期高三期末教学质量检测试题数学试题试卷考生请注意:1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名.如图,画中女子神秘的微笑,数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对蒙娜丽莎的缩小影像作品进行了粗略测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角处作圆弧的切线,两条切线交于点,测得如下数据:(其中).根据测量得到的结果推算:将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于( )ABCD2存在点在椭圆上,且点M在第一象限,使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点,则椭圆离心率的取值范围是( )ABCD3设,则复数的模等于( )ABCD4记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间,设函数,则不等式的解集为( )A2阶区间B3阶区间C4阶区间D5阶区间5己知,则( )ABCD6已知集合,集合,那么等于( )ABCD7已知抛物线C:,过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点(A在x轴上方),且满足,则直线l的斜率为( )A1BC2D38设,是空间两条不同的直线,是空间两个不同的平面,给出下列四个命题:若,则;若,则;若,则;若,则.其中正确的是( )ABCD9已知向量,则向量在向量方向上的投影为( )ABCD10阅读下面的程序框图,运行相应的程序,程序运行输出的结果是( )A11B1C29D2811命题:存在实数,对任意实数,使得恒成立;:,为奇函数,则下列命题是真命题的是( )ABCD12抛掷一枚质地均匀的硬币,每次正反面出现的概率相同,连续抛掷5次,至少连续出现3次正面朝上的概率是( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13如图,直三棱柱中,P是的中点,则三棱锥的体积为_.14若,则的最小值是_.15已知过点的直线与函数的图象交于、两点,点在线段上,过作轴的平行线交函数的图象于点,当轴,点的横坐标是 16已知点是抛物线上动点,是抛物线的焦点,点的坐标为,则的最小值为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)如图,在三棱柱中,、分别是、的中点.(1)证明:平面;(2)若底面是正三角形,在底面的投影为,求到平面的距离.18(12分)我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来,已发现132颗优质的脉冲星候选体,其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星,脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一,脉冲星就是正在快速自转的中子星,每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期,绘制了如图的频率分布直方图.(1)在93颗新发现的脉冲星中,自转周期在2至10秒的大约有多少颗?(2)根据频率分布直方图,求新发现脉冲星自转周期的平均值.19(12分)已知椭圆的左顶点为,左、右焦点分别为,离心率为,是椭圆上的一个动点(不与左、右顶点重合),且的周长为6,点关于原点的对称点为,直线交于点.(1)求椭圆方程;(2)若直线与椭圆交于另一点,且,求点的坐标.20(12分)在等比数列中,已知,.设数列的前n项和为,且,(,).(1)求数列的通项公式;(2)证明:数列是等差数列;(3)是否存在等差数列,使得对任意,都有?若存在,求出所有符合题意的等差数列;若不存在,请说明理由.21(12分)设函数.(1)求的值;(2)若,求函数的单调递减区间.22(10分)如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,点E,F分别为棱DC,BC的中点,点G是棱SC靠近点C的四等分点.求证:(1)直线平面EFG;(2)直线平面SDB.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】由已知,设可得于是可得,进而得出结论【题目详解】解:依题意,设则,设蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为则,故选:A【题目点拨】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题2、D【解题分析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.【题目详解】因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,由,解得,即,所以,所以.故选:D【题目点拨】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.3、C【解题分析】利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.【题目详解】因为,所以,由复数模的定义知,.故选:C【题目点拨】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.4、D【解题分析】可判断函数为奇函数,先讨论当且时的导数情况,再画出函数大致图形,将所求区间端点值分别看作对应常函数,再由图形确定具体自变量范围即可求解【题目详解】当且时,.令得.可得和的变化情况如下表:令,则原不等式变为,由图像知的解集为,再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成,所以解集为5阶区间. 故选:D【题目点拨】本题考查由函数的奇偶性,单调性求解对应自变量范围,导数法研究函数增减性,数形结合思想,转化与化归思想,属于难题5、B【解题分析】先将三个数通过指数,对数运算变形,再判断.【题目详解】因为,所以,故选:B.【题目点拨】本题主要考查指数、对数的大小比较,还考查推理论证能力以及化归与转化思想,属于中档题.6、A【解题分析】求出集合,然后进行并集的运算即可.【题目详解】,.故选:A.【题目点拨】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和运算,属于基础题.7、B【解题分析】设直线的方程为代入抛物线方程,利用韦达定理可得,由可知所以可得代入化简求得参数,即可求得结果.【题目详解】设,(,).易知直线l的斜率存在且不为0,设为,则直线l的方程为.与抛物线方程联立得,所以,.因为,所以,得,所以,即,所以.故选:B.【题目点拨】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量的坐标之间的关系,考查计算能力,属于中档题.8、C【解题分析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【题目详解】解:、也可能相交或异面,故错:因为,所以或,因为,所以,故对:或,故错:如图因为,在内过点作直线的垂线,则直线,又因为,设经过和相交的平面与交于直线,则又,所以因为, 所以,所以,故对.故选:C【题目点拨】考查线面平行或垂直的判断,基础题.9、A【解题分析】投影即为,利用数量积运算即可得到结论.【题目详解】设向量与向量的夹角为,由题意,得,所以,向量在向量方向上的投影为.故选:A.【题目点拨】本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题.10、C【解题分析】根据程序框图的模拟过程,写出每执行一次的运行结果,属于基础题.【题目详解】初始值, 第一次循环:,;第二次循环:,;第三次循环:,;第四次循环:,;第五次循环:,;第六次循环:,;第七次循环:,;第九次循环:,;第十次循环:,;所以输出.故选:C【题目点拨】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果,属于基础题.11、A【解题分析】分别判断命题和的真假性,然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【题目详解】对于命题,由于,所以命题为真命题.对于命题,由于,由解得,且,所以是奇函数,故为真命题.所以为真命题. 、都是假命题.故选:A【题目点拨】本小题主要考查诱导公式,考查函数的奇偶性,考查含有逻辑联结词命题真假性的判断,属于基础题.12、A【解题分析】首先求出样本空间样本点为个,再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数,再求出重复数量,可得事件的样本点数,根据古典概型的概率计算公式即可求解.【题目详解】样本空间样本点为个, 具体分析如下:记正面向上为1,反面向上为0,三个正面向上为连续的3个“1”,有以下3种位置1_ _,_1_,_ _1剩下2个空位可是0或1,这三种排列的所有可能分别都是,但合并计算时会有重复,重复数量为,事件的样本点数为:个故不同的样本点数为8个,.故选:A【题目点拨】本题考查了分类计数原理与分步计数原理,古典概型的概率计算公式,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】证明平面,于是,利用三棱锥的体积公式即可求解.【题目详解】平面,平面,又.平面,是的中点,.故答案为:【题目点拨】本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式,属于基础题.14、8【解题分析】根据,利用基本不等式可求得函数最值.【题目详解】,当且仅当且,即时,等号成立.时,取得最小值.故答案为:【题目点拨】本题考查基本不等式,构造基本不等式的形式是解题关键.15、【解题分析】通过设出A点坐标,可得C点坐标,通过轴,可得B点坐标,于是再利用可得答案.【题目详解】根据题意,可设点,则,由于轴,故,代入,可得,即,由于在线段上,故,即,解得.16、【解题分析】过点作垂直于准线,为垂足,则由抛物线的定义可得,则,为锐角.故当和抛物线相切时,的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标,从而求得的最小值.【题目详解】解:由题意可得,抛物线的焦点,准线方程为,过点作垂直于准线,为垂足,则由抛物线的定义可得,则,为锐角.故当最小时,的值最小.设切点,由的导数为,则的斜率为,求得,可得,.故答案为:.【题目点拨】本题考查抛物线的定义,性质的简单应用,直线的斜率公式,导数的几何意义,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明
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