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福建省厦门市思明区湖滨中学2024届八校联考高考数学试题模拟试卷考生请注意:1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1在条件下,目标函数的最大值为40,则的最小值是( )ABCD22已知正项数列满足:,设,当最小时,的值为( )ABCD3若函数的图象如图所示,则的解析式可能是( )ABCD4下列函数中,既是奇函数,又在上是增函数的是( )ABCD5在明代程大位所著的算法统宗中有这样一首歌谣,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛马羊,要求赔偿五斗粮,三畜户主愿赔偿,牛马羊吃得异样马吃了牛的一半,羊吃了马的一半”请问各畜赔多少?它的大意是放牧人放牧时粗心大意,牛、马、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1斗=10升),三畜的主人同意赔偿,但牛、马、羊吃的青苗量各不相同马吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是马的一半问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?( )ABCD6是正四面体的面内一动点,为棱中点,记与平面成角为定值,若点的轨迹为一段抛物线,则( )ABCD7集合,则=( )ABCD8已知点是抛物线:的焦点,点为抛物线的对称轴与其准线的交点,过作抛物线的切线,切点为,若点恰好在以,为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )ABCD9函数在区间上的大致图象如图所示,则可能是( )ABCD10关于函数,有下列三个结论:是的一个周期;在上单调递增;的值域为.则上述结论中,正确的个数为()ABCD11是恒成立的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件12已知曲线的一条对称轴方程为,曲线向左平移个单位长度,得到曲线的一个对称中心的坐标为,则的最小值是( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知函数,曲线与直线相交,若存在相邻两个交点间的距离为,则可取到的最大值为_.14已知函数,若函数有6个零点,则实数的取值范围是_.15已知函数的最大值为3,的图象与y轴的交点坐标为,其相邻两条对称轴间的距离为2,则16设,若关于的方程有实数解,则实数的取值范围_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知是等差数列,满足,数列满足,且是等比数列.(1)求数列和的通项公式;(2)求数列的前项和.18(12分)已知四棱锥中,底面为等腰梯形,丄底面.(1)证明:平面平面;(2)过的平面交于点,若平面把四棱锥分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值.19(12分)已知等差数列an的各项均为正数,Sn为等差数列an的前n项和,.(1)求数列an的通项an;(2)设bnan3n,求数列bn的前n项和Tn.20(12分)如图,四棱锥中,四边形是矩形,为正三角形,且平面平面,、分别为、的中点.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.21(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.已知点的直角坐标为,过的直线与曲线相交于,两点.(1)若的斜率为2,求的极坐标方程和曲线的普通方程;(2)求的值.22(10分)已知数列,其前项和为,满足,其中,.若,(),求证:数列是等比数列;若数列是等比数列,求,的值;若,且,求证:数列是等差数列.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1B【解题分析】画出可行域和目标函数,根据平移得到最值点,再利用均值不等式得到答案.【题目详解】如图所示,画出可行域和目标函数,根据图像知:当时,有最大值为,即,故.当,即时等号成立.故选:.【题目点拨】本题考查了线性规划中根据最值求参数,均值不等式,意在考查学生的综合应用能力.2B【解题分析】由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由递推公式求出.【题目详解】由得,即,当且仅当时取得最小值,此时.故选:B【题目点拨】本题主要考查了数列中的最值问题,递推公式的应用,基本不等式求最值,考查了学生的运算求解能力.3A【解题分析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【题目详解】对于选项B, 为 奇函数可判断B错误;对于选项C,当时, ,可判断C错误;对于选项D, ,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;故选:A.【题目点拨】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.4B【解题分析】奇函数满足定义域关于原点对称且,在上即可.【题目详解】A:因为定义域为,所以不可能时奇函数,错误;B:定义域关于原点对称,且满足奇函数,又,所以在上,正确;C:定义域关于原点对称,且满足奇函数,在上,因为,所以在上不是增函数,错误;D:定义域关于原点对称,且,满足奇函数,在上很明显存在变号零点,所以在上不是增函数,错误;故选:B【题目点拨】此题考查判断函数奇偶性和单调性,注意奇偶性的前提定义域关于原点对称,属于简单题目.5D【解题分析】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,结合等比数列的性质可求出答案.【题目详解】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,.故选:D.【题目点拨】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.6B【解题分析】设正四面体的棱长为,建立空间直角坐标系,求出各点的坐标,求出面的法向量,设的坐标,求出向量,求出线面所成角的正弦值,再由角的范围,结合为定值,得出为定值,且的轨迹为一段抛物线,所以求出坐标的关系,进而求出正切值【题目详解】由题意设四面体的棱长为,设为的中点,以为坐标原点,以为轴,以为轴,过垂直于面的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则可得,取的三等分点、如图,则,所以、,由题意设,和都是等边三角形,为的中点,平面,为平面的一个法向量,因为与平面所成角为定值,则,由题意可得,因为的轨迹为一段抛物线且为定值,则也为定值,可得,此时,则,.故选:B.【题目点拨】考查线面所成的角的求法,及正切值为定值时的情况,属于中等题7C【解题分析】先化简集合A,B,结合并集计算方法,求解,即可【题目详解】解得集合,所以,故选C【题目点拨】本道题考查了集合的运算,考查了一元二次不等式解法,关键化简集合A,B,难度较小8D【解题分析】根据抛物线的性质,设出直线方程,代入抛物线方程,求得k的值,设出双曲线方程,求得2a丨AF2丨丨AF1丨(1)p,利用双曲线的离心率公式求得e【题目详解】直线F2A的直线方程为:ykx,F1(0,),F2(0,),代入抛物线C:x22py方程,整理得:x22pkx+p20,4k2p24p20,解得:k1,A(p,),设双曲线方程为:1,丨AF1丨p,丨AF2丨p,2a丨AF2丨丨AF1丨( 1)p,2cp,离心率e1,故选:D【题目点拨】本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质,考查转化思想,考查计算能力,属于中档题9B【解题分析】根据特殊值及函数的单调性判断即可;【题目详解】解:当时,无意义,故排除A;又,则,故排除D;对于C,当时,所以不单调,故排除C;故选:B【题目点拨】本题考查根据函数图象选择函数解析式,这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择,属于基础题.10B【解题分析】利用三角函数的性质,逐个判断即可求出【题目详解】因为,所以是的一个周期,正确;因为,所以在上不单调递增,错误;因为,所以是偶函数,又是的一个周期,所以可以只考虑时,的值域当时,在上单调递增,所以,的值域为,错误;综上,正确的个数只有一个,故选B【题目点拨】本题主要考查三角函数的性质应用11A【解题分析】设 成立;反之,满足 ,但,故选A.12C【解题分析】在对称轴处取得最值有,结合,可得,易得曲线的解析式为,结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【题目详解】直线是曲线的一条对称轴.,又.平移后曲线为.曲线的一个对称中心为.,注意到故的最小值为.故选:C.【题目点拨】本题考查余弦型函数性质的应用,涉及到函数的平移、函数的对称性,考查学生数形结合、数学运算的能力,是一道中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。134【解题分析】由于曲线与直线相交,存在相邻两个交点间的距离为,所以函数的周期,可得到的取值范围,再由解出的两类不同的值,然后列方程求出,再结合的取值范围可得的最大值.【题目详解】,可得,由,则或,即或,由题意得,所以,则或,所以可取到的最大值为4.故答案为:4【题目点拨】此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解,熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.14【解题分析】由题意首先研究函数的性质,然后结合函数的性质数形结合得到关于a的不等式,求解不等式即可确定实数a的取值范围.【题目详解】当时,函数在区间上单调递增,很明显,且存在唯一的实数满足,当时,由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,结合复合函数的单调性可知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,且当时,考查函数在区间上的性质,由二次函数的性质可知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,函数有6个零点,即方程有6个根,也就是有6个根,即与有6个不同交点,注意到函数关于直线对称,则函数关于直线对称,绘制函数的图像如图所示,观察可得:,即.综上可得,实数的取值范围是.故答案为【题目点拨】本题主要考查分段函数的应用,复合函数的单调性,数形结合的数学思想,等价转化的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15【解题分析】,由题意,得,解得,则的周期为4,且,所以.考点:三角函数的图像与性质.16【解题分析】先求出,从而得函数在区间上为增函数;在区间为减函数即可得的最大值为,令,得函数取得最小值,由有实数解,进而得实数的取值范围【题目详解】
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