江西省广昌一中2024届高三第三次诊断性检测试题数学试题试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知双曲线 (a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）AB(1,2),CD2设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为( )ABCD13设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ）ABCD4 “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）ABCD5若直线ykx1与圆x2y21相交于P、Q两点，且POQ120(其中O为坐标原点)，则k的值为()A B C或D和6执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )A9B31C15D637已知中，角、所对的边分别是，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充分必要条件8已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ）ABCD9已知角的终边与单位圆交于点，则等于（ ）ABCD10复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数( )A3BCD11设且，则下列不等式成立的是（ ）ABCD12函数在上单调递减的充要条件是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在正方体中，为棱的中点，是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为_14已知、为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最小值为_.15如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为_.16若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.则在区间上的最小值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，轴的正半轴为极轴已知曲线的极坐标方程为，是上一动点，点的轨迹为（1）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（2）若点，直线的参数方程（为参数），直线与曲线的交点为，当取最小值时，求直线的普通方程18（12分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由.19（12分）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.20（12分）在直角坐标平面中，已知的顶点，为平面内的动点，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.21（12分）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况现分别从、三块试验田中各随机抽取株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）： 组组组假设所有植株的生长情况相互独立从、三组各随机选株，组选出的植株记为甲，组选出的植株记为乙，组选出的植株记为丙（1）求丙的高度小于厘米的概率；（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；（3）表格中所有数据的平均数记为从、三块试验田中分别再随机抽取株该种植物，它们的高度依次是、（单位：厘米）这个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为，试比较和的大小（结论不要求证明）22（10分）已知椭圆的左焦点坐标为，分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆上异于，的一点，且，所在直线斜率之积为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解题分析】若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围【题目详解】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率，故选：【题目点拨】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件2C【解题分析】试题分析：设，由题意，显然时不符合题意，故，则，可得：，当且仅当时取等号，故选C考点：1抛物线的简单几何性质；2均值不等式【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题解题时一定要注意分析条件，根据条件，利用向量的运算可知，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题3B【解题分析】由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像.【题目详解】函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，当时，；当时，；当时，.时，时，当或时，；当时，.故选：【题目点拨】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.4A【解题分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有，利用古典概型求解即可.【题目详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知，所求概率为.故选：A.【题目点拨】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.5C【解题分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且POQ=120（其中O为原点），可以发现QOx的大小，求得结果【题目详解】如图，直线过定点（0，1），POQ=120OPQ=30，1=120，2=60，由对称性可知k=故选C【题目点拨】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题6B【解题分析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.【题目详解】执行程序框；，满足，退出循环，因此输出，故选:B.【题目点拨】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.7D【解题分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【题目详解】中，角、所对的边分别是、，由大边对大角定理知“”“”，“”“”.因此，“” 是“”的充分必要条件.故选：D.【题目点拨】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题8B【解题分析】根据三角函数定义得到，故，再利用和差公式得到答案.【题目详解】角的终边过点，.故选：.【题目点拨】本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.9B【解题分析】先由三角函数的定义求出，再由二倍角公式可求.【题目详解】解：角的终边与单位圆交于点，故选：B【题目点拨】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.10B【解题分析】利用乘法运算化简复数即可得到答案.【题目详解】由已知，所以，解得.故选：B【题目点拨】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.11A【解题分析】 项，由得到，则，故项正确；项，当时，该不等式不成立，故项错误；项，当，时，即不等式不成立，故项错误；项，当，时，即不等式不成立，故项错误综上所述，故选12C【解题分析】先求导函数，函数在上单调递减则恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质和图象，列不等式组求解可得.【题目详解】依题意，令，则，故在上恒成立；结合图象可知，解得故.故选：C.【题目点拨】本题考查求三角函数单调区间. 求三角函数单调区间的两种方法:(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解题分析】根据题意画出几何题，建立空间直角坐标系，写个各个点的坐标，并求得.由空间向量的夹角求法即可求得异面直线与所成角的余弦值.【题目详解】根据题意画出几何图形，以为原点建立空间直角坐标系：设正方体的棱长为1，则 所以所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故答案为：.【题目点拨】本题考查了异面直线夹角的求法，利用空间向量求异面直线夹角，属于中档题.14【解题分析】先根据弦长，半径，弦心距之间的关系列式求得，代入整理得，利用基本不等式求得最值.【题目详解】解：圆的圆心为，则到直线的距离为，由直线截圆所得的弦长为可得，整理得，解得或(舍去)，令，又，当且仅当时,等号成立,则.故答案为：.【题目点拨】本题考查直线和圆的位置关系，考核基本不等式求最值，关键是对目标式进行变形，变成能用基本不等式求最值的形式，也可用换元法进行变形，是中档题.15【解题分析】由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【题目详解】设圆锥的底面半径为，体积为，半球的体积为，水（小圆锥）的体积为，如图则，所以，解得，所以，由，得，解得.故答案为：【题目点拨】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.16【解题分析】注意平移是针对自变量x，所以，再利用整体换元法求