浙江省杭州市杭州七县市区2023-2024学年高二数学第一学期期末质量检测试题注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1一物体做直线运动，其位移 (单位: )与时间 (单位: )的关系是，则该物体在时的瞬时速度是A.B.C.D.2已知，若，共面，则等于（）A.B.3C.D.93已知命题：中，若，则；命题：函数，则的最大值为.则下列命题是真命题的是（）A.B.C.D.4莱茵德纸草书（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（）个A.12B.24C.36D.485某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测.把这批公务员按001到780进行编号，若054号被抽中，则下列编号也被抽中的是（ ）A.076B.104C.390D.5226已知数列的前项和为，满足，则（）A.B.C.,成等差数列D.,成等比数列7函数，若实数是函数的零点，且，则（）A.B.C.D.无法确定8已知数列满足，若.则的值是（）A.B.C.D.9等比数列满足，则（）A.11B.C.9D.10双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A.B.C.D.11“若”为真命题，那么p是（）A.B.C.D.12若不等式在上有解，则的最小值是（ ）A.0B.-2C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13展开式中的系数是_.14设，分别是椭圆C：的左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为_15已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，过点F和的直线l与抛物线C交于P，Q两点.若，则_.16命题“若，则”的否命题为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且（1）求抛物线的方程；（2）若，是抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，求证：为定值18（12分）已知直线，分别求实数的值，使得：（1）；（2）；（3）与相交.19（12分）已知点，圆C：，l：.（1）若直线过点M，且被圆C截得的弦长为，求该直线的方程；（2）设P为已知直线l上的动点，过点P向圆C作一条切线，切点为Q，求的最小值.20（12分）在中，为边上一点，且（1）求；（2）若，求21（12分）设P是抛物线上一个动点，F为抛物线的焦点.（1）若点P到直线距离为，求的最小值；（2）若，求的最小值.22（10分） “中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称.如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形和其上方的抛物线（部分）组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知，立柱.（1）求立柱及横梁的长；（2）求抛物线的方程和桥梁的拱高.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在时的瞬时速度【详解】对求导，得，因此，该物体在时的瞬时速度为，故选A【点睛】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题2、C【解析】由，共面，设，列方程组能求出的值【详解】，共面，设(实数m、n)，即，解得故选：C3、A【解析】由三角形内角及正弦函数的性质判断、的真假，应用换元法令，结合对勾函数的性质确定的值域即知、的真假，根据各选项复合命题判断真假即可.【详解】由且，可得或，故为假命题，为真命题；令，又，则，故，在上递减，故的最大值为.为真命题，为假命题；为真，为假，为假，为假.故选：A.4、D【解析】设等比数列的首项为，公比，根据题意，由求解.【详解】设等比数列的首项为，公比，由题意得：，即，解得，所以，故选：D5、D【解析】根据题意，求得组数与抽中编号的对应关系，即可判断和选择.【详解】从780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测，故需要分为组，每组人，设第组抽中的编号为，设，由题可知：，故可得，故可得.当时，.故选：.6、C【解析】写出数列前几项，观察规律，找到数列变化的周期，再依次去判断各项的说法即可解决.【详解】数列中，则此数列为1，2，2，1，1，2，2，1，1，2，2，1，即数列的各项是周期为6数值循环重复的一列数，选项A：，则.判断错误；选项B：由，可知当时，.判断错误；选项C：，则，即,成等差数列.判断正确；选项D：,则，,即,不能构成等比数列.判断错误.故选：C7、A【解析】利用函数在递减求解.【详解】因为函数在递减，又实数是函数的零点，即，又因为，所以，故选：A8、D【解析】由，转化为，再由求解.【详解】因为数列满足，所以，即，因为，所以，所以，故选：D9、B【解析】由已知结合等比数列的性质即可求解.【详解】由数列是等比数列，得：，故选：B10、A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.11、A【解析】求不等式的解集，根据解集判断p.【详解】由解得-2x4，所以p是.故选：A.12、D【解析】将题设条件转化为在上有解,然后求出的最大值即可得解.【详解】不等式在上有解,即为在上有解,设,则在上单调递减,所以,所以,即,故选:D.【点睛】本题主要考查二次不等式能成立问题,可以选择分离参数转化为最值问题,也可以进行分情况讨论.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据二项展开式的通项公式，可知展开式中含的项，以及展开式中含的项，再根据组合数的运算即可求出结果.【详解】解：由题意可得，展开式中含的项为，而展开式中含的项为，所以的系数为.故答案为：.14、【解析】先计算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的横坐标为，代入椭圆C：求出.【详解】椭圆C：,所以.因为M在椭圆上,.因为M在第一象限,故.为等腰三角形,则,所以,由余弦定理可得.过M作MAx轴于A,则所以,即M的横坐标为.因为M为椭圆C：上一点且在第一象限，所以，解得：所以M的坐标为.故答案为：15、9【解析】根据抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，求得抛物线方程.再由和，得到点P的坐标，进而得到直线l的方程，与抛物线方程联立求得的坐标，再由两点间距离公式求解.【详解】由抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，所以，所以抛物线方程为.因为，所以点P的纵坐标为1，代入抛物线方程，可得点P的横坐标为，不妨设，则，故直线l的方程为，将其代入得.可得，故.故答案为：9【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16、若，则【解析】否命题是对命题的条件和结论同时否定，同时否定和即可.命题“若，则”的否命题为:若，则考点：四种命题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1） （2）证明见解析【解析】(1)联立直线和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式得到，根据韦达定理可得到最终结果；（2）代入点坐标可得到参数的值，设直线的方程为，联立该直线和抛物线方程，代入韦达定理可得到最终结果.【小问1详解】设点，点，联立，整理得，由抛物线的定义知，解得，抛物线的方程为【小问2详解】，为抛物线上一点，即，设，直线的方程为，由，消去得，即为定值18、（1）或（2）或（3）且【解析】（1）根据直线一般式平行的条件列式计算；（2）根据直线一般式垂直的条件列式计算；（3）根据相交和平行的关系可得答案.【小问1详解】，解得或又时，直线，两直线不重合；时，直线，两直线不重合；故或；【小问2详解】，解得或；【小问3详解】与相交故由（1）得且.19、（1）或（2）【解析】（1）求出圆的圆心到直线的距离，再利用垂径定理计算列方程计算；（2）由题意可知当最小时，连线与已知直线垂直，求出，再利用计算即可.【小问1详解】由题意可知圆的圆心到直线的距离为当直线斜率不存在时，圆的圆心到直线距离为1，满足题意；当直线斜率存在时，设过的直线方程为：，即由点到直线距离公式列方程得：解得综上，过的直线方程为或.【小问2详解】由题意可知当最小时，连线与已知直线垂直，由勾股定理知：，所以的最小值为.20、（1）；（2）【解析】（1）在中，由余弦定理，即可求.（2）在中，由正弦定理，即可求.【详解】（1）在中，由余弦定理得：，（2）在中，由正弦定理得：，即，21、（1）；（2）4.【解析】（1）利用抛物线的定义可知，将问题问题转化为求的最小值，即求.（2）判断点B在抛物线的内部，过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点，利用抛物线的定义求解即可.【详解】解析（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为.由已知及抛物线的定义，可知，于是问题转化为求的最小值.由平面几何知识知，当F，P，A三点共线时，取得最小值，最小值为，即的最小值为.（2）把点B的横坐标代入中，得，因为，所以点B在抛物线的内部.过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点（如图所示）.由抛物线的定义，可知，则，所以的最小值为4.【点睛】本题考查了抛物线的定义，理解定义是解题的关键，属于基础题.22、（1）， （2），【解析】（1）根据梯形的几何性质，即可求解；（2）表示出M,N的坐标，代入抛物线方程中，结合条件解得p值，继而求得拱高.【小问1详解】由题意，知, 因为ABFM是等腰梯形，由对称性知: