2023-2024学年广东省云浮市郁南县连滩中学数学高二上期末经典试题考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1曲线在处的切线的斜率为（）A.-1B.1C.2D.32已知双曲线E的渐近线为，则其离心率为（）A.B.C.D.或3下列四个命题中为真命题的是（）A.设p：1x2，q：2x1，则p是q的必要不充分条件B.命题“”的否定是“”C.函数的最小值是4D.与的图象关于直线yx对称4若将双曲线绕其对称中心顺时针旋转120后可得到某一函数的图象，且该函数在区间上存在最小值，则双曲线C的离心率为（ ）A.B.C.2D.5已知，则下列判断正确的是（）A.B.C.D.6一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个，现从中选出一个球.事件选出的球是红色，事件选出的球是绿色.则事件与事件（）A.是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件7已知双曲线1的一条渐近线方程为x4y0，其虚轴长为（）A.16B.8C.2D.18据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（）A.B.C.D.9直线被圆所截得的弦长为（）A.B.C.D.10函数在处的切线方程为()A.B.C.D.11已知双曲线的离心率，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为A.B.C.D.12已知平面法向量为，则直线与平面的位置关系为A.B.C.与相交但不垂直D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若过点作圆的切线，则切线方程为_.14圆锥的高为1，底面半径为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为_15已知抛物线的焦点F在直线上，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，的面积是面积的4倍，则直线l的方程为_16已知，在直线上存在点P，使，则m的最大值是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在直棱柱 中，已知，点分别的中点.（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）求点到平面的距离；（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的大小是? 若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.18（12分）2021年7月29日，中国游泳队获得了女子米自由泳接力决赛冠军并打破世界纪录.受奥运精神的鼓舞，某游泳俱乐部组织100名游泳爱好者进行自由泳1500米测试，并记录他们的时间（单位：分钟），将所得数据分成5组：，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求出直方图中m的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计这100位游泳爱好者1500米自由泳测试时间的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）.19（12分）某班名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、.（1）估计该班本次测试的平均分；（2）在、中按分层抽样的方法抽取个数据，再从这个数据中任抽取个，求抽出个中至少有个成绩在中的概率.20（12分）在平面直角坐标系中，动点，满足，记点的轨迹为（1）请说明是什么曲线，并写出它的方程；（2）设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点，线段的中点为，直线与交于两点，请判断与的关系，并证明你的结论21（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD1，BC2，PA1（1）求证：ABPC；（2）点M在线段PD上，二面角MACD的余弦值为，求三棱锥MACP体积22（10分）在等差数列中，已知公差，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先求解出导函数，然后代入到导函数中，所求导数值即为切线斜率.【详解】因为，所以，所以切线的斜率为.故选：D.2、D【解析】根据双曲线标准方程与渐近线的关系即可求解.【详解】当双曲线焦点在x轴上时，渐近线为，故离心率为；当双曲线焦点在y轴上时，渐近线为，故离心率为；故选：D.3、D【解析】根据推出关系和集合的包含关系判断A，根据全称命题的否定形式可判断B，根据对钩函数性质即三角函数的性质可判断C，根据反函数的图像性质可判断D.【详解】解：对于选项A：是的真子集，所以命题p是q的充分不必要条件，故A错误；对于选项B：命题“”的否定是“”，故B错误；对于选项C：函数，当时，函数单调递减，当时取最小值，故C错误；对于选项D：与互为反函数，故图象关于直线yx对称，故D正确.4、C【解析】由题意，可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为120，再确定参数的正负即可求解.【详解】双曲线，令，则，显然，则一条渐近线方程为，绕其对称中心顺时针旋转120后可得到某一函数的图象，则渐近线就需要旋转到与坐标轴重合，故渐近线方程的倾斜角为120，即，该函数在区间上存在最小值，可知，所以，所以.故选：C5、A【解析】根据对数函数的单调性，以及根式的运算，确定的大小关系，则问题得解.【详解】因为，即；又，故.故选：A.6、A【解析】根据事件的关系进行判断即可.【详解】由题意可知，事件与为互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件与事件是互斥事件，不是对立事件.故选：A.【点睛】本题考查事件关系的判断，考查互斥事件和对立事件概率的理解，属于基础题.7、C【解析】根据双曲线的渐近线方程的特点，结合虚轴长的定义进行求解即可.【详解】因为双曲线1的一条渐近线方程为x4y0，所以，因此该双曲线的虚轴长为，故选：C8、D【解析】由欧拉公式的定义和复数的概念进行求解.【详解】由题意，得，则复数的虚部为.故选：D.9、A【解析】求得圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解.【详解】由圆的方程可知圆心为，半径为，圆心到直线的距离，所以弦长为.故选：A.10、C【解析】利用导数的几何意义即可求切线方程【详解】，在处的切线为：，即故选：C11、B【解析】先根据离心率得，再根据抛物线定义得最小值为（为抛物线焦点），解得，即得结果.【详解】因为双曲线的离心率，所以，设为抛物线焦点，则，抛物线准线方程为，因此到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于，因为，所以，即，即双曲线的方程为，选B.【点睛】本题考查双曲线方程、离心率以及抛物线定义，考查基本分析求解能力，属中档题.12、A【解析】.本题选择A选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解析】根据圆心到切线的距离等于圆的半径即可求解.【详解】由题意可知，故在圆外，则过点做圆的切线有两条，且切线斜率必存在，设切线为，即，则圆心到直线的距离，解得或，故切线方程为或故答案为：或14、2【解析】求出圆锥轴截面顶角大小，判断并求出所求面积最大值【详解】如图，是圆锥轴截面，是一条母线，设轴截面顶角为，因为圆锥的高为1，底面半径为，所以，所以，设圆锥母线长为，则，截面的面积为，因为，所以时，故答案为：215、【解析】设A，B分别为，由焦点在已知直线上求F坐标及抛物线方程，再根据题设三角形的面积关系可得，并设直线l为，联立抛物线应用韦达定理求参数m，即可知直线l的方程.【详解】设点A，B的坐标分别为，直线，令可得，故焦点F的坐标为，所以，由，而的面积是面积的4倍，所以，即，设直线l为，联立方程，消去x后整理为，所以，代入，有，可得，则直线l的方程为故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据抛物线焦点位置及其所在直线求抛物线方程，由面积关系得到交点纵坐标的数量关系，注意交点在x轴两侧，再设直线联立抛物线求参数即可.16、11【解析】设P点坐标，根据条件知，由向量的坐标运算可得P点位于圆上，再根据P存在于直线上，可知直线和圆有交点，因此列出相应的不等式，求得m范围，可得m的最大值.【详解】设P（x,y）,则，由题意可知 ,所以，即，即满足条件的点P在圆上，又根据题意P点存在于直线上，则直线与圆有交点，故有圆心(1,0)到直线的距离小于等于圆的半径，即，解得，则m的最大值为11，故答案为：11.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1） （2） （3）不存在，理由见解析【解析】（1）由题意，以点A为原点，方向分别为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.，利用向量法求解异面直线成角即可.（2）先求出平面DEF的一个法向量，然后利用向量法求解点面距离.（3）设（），由 可得关于的方程，从而得出答案.【小问1详解】由题意，以点A为原点，方向分别为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.则，故 ， ，从而， 所以异面直线AE与DF所成角的大小为.小问2详解】 ，设平面DEF的法向量为 ，则，即，取，得到平面DEF的一个法向量为.点A到平面DEF的距离为.【小问3详解】假设存在满足条件的点M，设（），则 ，从而 .即，即，此方程无实数解，故不存在满足条件的点M.18、（1）（2），【解析】（1）利用频率之和也即各矩形的面积和为1即可求解.（2）利用平均数和中位数的计算方法求解即可.【小问1详解】由，可得 .【小问2详解】平均数为：，设中位数为，则，解得 .19、（1）； （2）.【解析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得的值；（2）分析可知，所抽取的个数据中，成绩在内的有个，分别记为、，成绩在内的有个，分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：由频率分布直方图可得.【小问2详解】解：因为数学成绩在、内的频率分别为、，所以，所抽取的个数据中，成绩在内的有个，分别记为、，成绩在内的有个，分别记为、，从这个数据中，任取抽取个，所有的基本事件有：、，共个，其中