2024届黑龙江省双鸭山市一中数学高二上期末联考模拟试题注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如图，在长方体中，则直线和夹角的余弦值为（ ）A.B.C.D.2已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）A.B.C.D.3已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，则C的方程为A.B.C.D.4设命题，则为A.B.C.D.5已知函数，为的导数，则（ ）A.-1B.1C.D.6等比数列中，已知=8，+=4，则的值为（ ）A.1B.2C.3D.57已知等比数列满足，则q（ ）A.1B.1C.3D.38已知数列满足且，则（）A.是等差数列B.是等比数列C.是等比数列D.是等比数列9中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是A.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且B.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且C.a，b，c依次成公比为的等比数列，且D.a，b，c依次成公比为的等比数列，且10甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是（）A.极差B.方差C.平均数D.中位数11过点且与直线垂直的直线方程是（）A.B.C.D.12已知一个几何体的三视图如图，则其外接球的体积为（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知直线，为抛物线上一点，则到这两条直线距离之和的最小值为_.14已知平面向量 均为非零向量，且满足 ，记向量 在向量 上投影向量为，则 k =_(用数字作答)15若经过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，则_.16有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，（1）证明：（2）若平面平面ACE，求二面角的余弦值.18（12分）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，设，求数列的前n项和.19（12分）已知数列满足，（1）设，求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数m，使得对任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由20（12分）圆的圆心为，且与直线相切，求：（1）求圆的方程；（2）过的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程21（12分）请分别确定满足下列条件的直线方程（1）过点（1，0）且与直线x2y20垂直直线方程是（2）求与直线3x-4y+7=0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程.22（10分）某市为加强市民对新冠肺炎的知识了解，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组20，25），共5人，第2组25，30），共35人，第3组30，35），第4组35，40），第5组40，45，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求a的值；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场宣传活动，且该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有-名志愿者被抽中的概率.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】如图建立空间直角坐标系，分别求出的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.【详解】如图：以为原点，分别以，所在的直线为，轴建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以直线和夹角的余弦值为，故选：D.2、A【解析】求出直线斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：A.3、B【解析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有在中，由余弦定理推论得在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选B【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养4、C【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.5、B【解析】由导数的乘法法则救是导函数后可得结论【详解】解：由题意，所以.故选：B6、C【解析】由等比数列性质求出公比，将原式化简后计算【详解】设等比数列的公比为，则，所以=.又（）82，（）81，所以213.故选：C7、C【解析】根据已知条件，利用等比数列的基本量列出方程，即可求得结果.【详解】因为，故可得；解得.故选：C.8、D【解析】由，化简得，结合等比数列、等差数列的定义可求解.【详解】由，可得，所以，又由，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以不是等差数列；不等于常数，所以不是等比数列.故选：D.9、D【解析】由条件知，依次成公比为的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前n项和，即故答案为D.10、C【解析】根据茎叶图依次计算甲和乙的平均数、方差、中位数和极差即可得到结果.【详解】甲的平均数为：；乙的平均数为：；甲和乙的平均数相同；甲的方差为：；乙的方差为：；甲和乙的方差不相同；甲的极差为：；乙的极差为：；甲和乙的极差不相同；甲的中位数为：；乙的中位数为：；甲和乙的中位数不相同.故选：C.11、C【解析】根据两直线垂直时斜率乘积为，可以直接求出所求直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程，最后化成一般式方程即可.【详解】因为直线的斜率为，故所求直线的斜率等于，所求直线的方程为，即，故选：C12、D【解析】根据三视图还原几何体，将几何体补成长方体，计算出几何体的外接球直径，结合球体体积公式即可得解.【详解】根据三视图还原原几何体，如下图所示：由图可知，该几何体三棱锥，且平面，将三棱锥补成长方体，所以，三棱锥的外接球直径为，故，因此，该几何体的外接球的体积为.故选：D【点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】过作，垂足分别为，由直线为抛物线的准线，转化，当三点共线时，取得最小值【详解】过作，垂足分别为抛物线的焦点为直线为抛物线的准线由抛物线的定义，故，当三点共线时，取得最小值故最小值为点到直线的距离：故答案为：14、#1.5【解析】由两边平方可得， ， ，设，向量是以向量为邻边的平行四边形、有共同起点的对角线， ，由余弦定理可得，向量 在向量 上投影向量为，化简可得答案.【详解】因为，所以，两边平方整理得，两边平方整理得，即，可得， ，设，所以向量是以向量为邻边的平行四边形、有共同起点的对角线，如图，即，因为，平行四边形即为的菱形，所以，由余弦定理可得，可得，向量 在向量 上投影向量为，即.故答案为：.15、【解析】由题意写出直线的方程与抛物线方程联立，得出韦达定理，由弦长公式可得答案.【详解】设，则直线的方程为由，得所以所以故答案为：16、【解析】由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，分别求出每种的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，步：即步两阶，有种；步：即步两阶与步一阶，有种；步：即步两阶与步一阶，有种；步：即步两阶与步一阶，有种；步：即步两阶与步一阶，有种；步：即步一阶，有种；综上可得一共有种情况，满足7步登完楼梯的有种；故7步登完楼梯的概率为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到、，即可得到平面，再根据，即可得证；（2）由面面垂直的性质得到平面，建立如图所示空间直角坐标系，设，即可得到点，的坐标，最后利用空间向量法求出二面角的余弦值；小问1详解】证明：连接DE因为，且D为AC的中点，所以因为，且D为AC的中点，所以因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面因为，所以平面BDE，所以【小问2详解】解：由（1）可知因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE两两垂直以D为原点，分别以，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设则，从而，设平面BCE的法向量为，则令，得平面ABC的一个法向量为设二面角为，由图可知为锐角，则18、（1） （2）.【解析】(1)由数列的前n项和与通项公式之间的关系即可完成.(2)由错位相减法即可解决此类“差比”数列的求和.【小问1详解】由，得当时，上下两式相减得，又当时，满足上式，所以数列的通项公式；【小问2详解】由（1）可知，所以，则，上下两式相减得，所以.19、（1）；（2）存在，3【解析】(1)结合递推关系可证得bn+1bn1，且b11，可证数列bn为等差数列，据此可得数列的通项公式；(2)结合通项公式裂项有求和有，再结合条件可得，即求【详解】（1）证明：，又由a12，得b11，所以数列bn是首项为1，公差为1的等差数列，所以bn1+(n1)1