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武威市重点中学2023年数学高二上期末经典试题注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1若用面积为48的矩形ABCD截某圆锥得到一个椭圆,且该椭圆与矩形ABCD的四边都相切.设椭圆的方程为,则下列满足题意的方程为( )A.B.C.D.2阅读如图所示程序框图,运行相应的程序,输出S的结果是()A.128B.64C.16D.323复数,则对应的点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4在平面直角坐标系中,线段的两端点,分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动,若圆上存在点是线段的中点,则线段长度的最小值为 ( )A.4B.6C.8D.105动点P,Q分别在抛物线和圆上,则的最小值为()A.B.C.D.6在正方体中,分别为的中点,为侧面的中心,则异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.7已知,则“”是“直线与平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8如图,D是正方体的一个“直角尖”O-ABC(OA,OB,OC两两垂直且相等)棱OB的中点,P是BC中点,Q是AD上的一个动点,连PQ,则当AC与PQ所成角为最小时,()A.B.C.D.29若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线的距离为()A.B.C.D.10直线与椭圆交于两点,以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点,则此椭圆的离心率为( )A B.C.D.11已知是和的等比中项,则圆锥曲线的离心率为( )A.B.或2C.D.或12某校初一有500名学生,为了培养学生良好的阅读习惯,学校要求他们从四大名著中选一本阅读,其中有200人选三国演义,125人选水浒传,125人选西游记,50人选红楼梦,若采用分层抽样的方法随机抽取40名学生分享他们的读后感,则选西游记的学生抽取的人数为()A.5B.10C.12D.15二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同,则积不容异”,即夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截, 如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则该几何体的体积为_.14已知函数有且仅有两个不同的零点,则实数的取值范围是_.15函数的导函数_.16过点,且周长最小的圆的标准方程为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)平行六面体,(1)若,求长;(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2,且它们彼此的夹角都是60,则AC与所成角的余弦值18(12分)求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上,实轴长为4,实半轴长是虚半轴长的2倍;(2)焦点在y轴上,渐近线方程为,焦距长为19(12分)已知函数.(1)若,求的极值;(2)若有两个零点,求实数a取值范围.20(12分)已知各项为正数的等比数列中,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和.21(12分)在,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题在中,内角A,的对边分别为,且满足_(1)求;(2)若的面积为,在边上,且,求的最小值注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分22(10分)已知圆与x轴交于A,B两点,P是该圆上任意一点,AP,PB的延长线分别交直线于M,N两点.(1)若弦AP长为2,求直线PB的方程;(2)以线段MN为直径作圆C,当圆C面积最小时,求此时圆C的方程.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由椭圆与矩形ABCD的四边都相切得到再逐项判断即可.【详解】由于椭圆与矩形ABCD的四边都相切,所以矩形两边长分别为, 由矩形面积为48,得,对于选项B,D由于,不符合条件,不正确.对于选项A,满足题意.对于选项C,不正确.故选:A.2、C【解析】根据程序框图的循环逻辑写出执行步骤,即可确定输出结果.【详解】根据流程图的执行逻辑,其执行步骤如下:1、成立,则;2、成立,则;3、成立,则;4、成立,则;5、不成立,输出;故选:C3、C【解析】化简复数,根据复数的几何意义,即可求解.【详解】由题意,复数,所以复数对应的点为位于第三象限.故选:C.4、C【解析】首先求点的轨迹,将问题转化为两圆有交点,即根据两圆的位置关系,求参数的取值范围.【详解】设,的中点为,则,故点的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,问题转化为圆与圆有交点, 所以,即,解得:,所以线段长度的最小值为.故选:C5、B【解析】设,根据两点间距离公式,先求得P到圆心的最小距离,根据圆的几何性质,即可得答案.【详解】设,圆化简为,即圆心为(0,4),半径为,所以点P到圆心的距离,令,则,令,为开口向上,对称轴为的抛物线,所以的最小值为,所以,所以的最小值为.故选:B6、A【解析】建立空间直角坐标系,用空间向量求解异面直线夹角的余弦值.【详解】如图,以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,所在直线为z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则,则,设异面直线与所成角为(),则.故选:A7、A【解析】首先由两直线平行的充要条件求出参数的取值,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可;【详解】因为直线与平行,所以,解得或,所以“”是“直线与平行”的充分不必要条件.故选:A.8、C【解析】根据题意,建立空间直角坐标系,求得AC与PQ夹角的余弦值关于点坐标的函数关系,求得角度最小时点的坐标,即可代值计算求解结果.【详解】根据题意,两两垂直,故以为坐标原点,建立空间直角坐标系如下所示:设,则,不妨设点的坐标为,则,则,又,设直线所成角为,则,则,令,令,则,令,则,此时.故当时,取得最大值,此时最小,点,则,故,则故选:C.9、B【解析】由题意可知圆心在第一象限,设圆心的坐标为,可得圆的半径为,写出圆的标准方程,利用点在圆上,求得实数的值,利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.【详解】由于圆上的点在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆与至少与一条坐标轴相交,不合乎题意,所以圆心必在第一象限,设圆心的坐标为,则圆的半径为,圆的标准方程为.由题意可得,可得,解得或,所以圆心的坐标为或,圆心到直线的距离均为;圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为;所以,圆心到直线的距离为.故选:B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算,求出圆的方程是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.10、D【解析】根据题意作出示意图,根据圆的性质以及直线的倾斜角求解出的长度,再根据椭圆的定义求解出的关系,则椭圆离心率可求.【详解】设椭圆的左右焦点分别为,如下图:因为以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点,所以且,所以,又因为的倾斜角为,所以,所以为等边三角形,所以,所以,因为,所以,所以,所以,所以,故选:D.11、B【解析】由等比中项的性质可得,分别计算曲线的离心率.【详解】由是和的等比中项,可得,当时,曲线方程为,该曲线为焦点在轴上的椭圆,离心率,当时,曲线方程为,该曲线为焦点在轴上的双曲线,离心率,故选:B.12、B【解析】根据分层抽样的方法,列出方程,即可求解.【详解】根据分层抽样的方法,可得选西游记的学生抽取的人数为故选:B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,由,求得底面半径,进而得到高,再利用锥体的体积公式求解.【详解】设圆锥的母线长为l,高为h,底面半径为r,因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,所以,解得,所以,所以圆锥的体积为:,故该几何体的体积为,故答案为:14、【解析】函数有两个不同零点即y=a与g(x)=图像有两个交点,画出近似图象即得a的范围【详解】函数有且仅有两个不同的零点,令,则y=a与g(x)=图像有两个交点,当时,单调递减,当时,单调递增,当时,作出函数与的图象,当时,y=a与g(x)有两个交点故答案为:15、【解析】利用导函数的乘法公式和复合函数求导法则进行求解【详解】故答案为:16、【解析】方法一:根据当线段为圆的直径时,圆周长最小,由线段的中点为圆心,其长一半为半径求解; 方法二:根据当线段为圆的直径时,圆周长最小,根据以AB为直径的圆的方程求解.【详解】方法一:当线段为圆的直径时,过点,的圆的半径最小,从而周长最小,即圆心为线段的中点,半径则所求圆的标准方程为方法二:当线段为圆的直径时,过点,的圆的半径最小,从而周长最小又,故所求圆的方程为,整理得,所以所求圆的标准方程为三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】(1)由,可得,再利用数量积运算性质即可得出;(2)以为一组基底,设与所成的角为,由求解.【小问1详解】,;【小问2详解】,8,设与所成的角为,则.18、(1)(2)【解析】(1)(2)直接由条件解出即可得到双曲线方程.【小问1详解】由题意有,解得:,则双曲线的标准方程为:【小问2详解】由题意有,解得:,则双曲线的标准方程为:19、(1)极小值为,无极大值(2)【解析】(1)利用导数求出,分别令、,进而得到函数的单调区间,即可求出极值;(2)利用导数讨论、0时函数的单调性,进而得出函数的最小值小于0,解不等式即可.【小问1详解】函数的定义域为,时,.令,解得,在上,在上,在上单调递减,在上单调递增,的极小值为,无极大值.【小问2详解】,当时,在上单调递增,此时不可能有2个零点.当0时.令,得,在上,在上,),在上单调递减,在上单调递增,的最小值为.有两个零点,即,.经验证,若,则,且,又,有两个零点.综上,a的取值范围是.20、(1);(2)【解析】(1)根据条件求出即可;(
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