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新课标全国卷2023-2024学年数学高二上期末调研试题考生须知:1全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1设P为椭圆C:上一点,分别为左、右焦点,且,则()A.B.C.D.2已知直线与直线平行,则实数a值为()A.1B.C.1或D.3函数在上的极大值点为( )A.B.C.D.4圆关于直线对称,则的最小值是( )A.B.C.D.5已知点是椭圆方程上的动点,、是直线上的两个动点,且满足,则()A.存在实数使为等腰直角三角形的点仅有一个B.存在实数使为等腰直角三角形的点仅有两个C.存在实数使为等腰直角三角形的点仅有三个D.存在实数使为等腰直角三角形的点有无数个6已知矩形,为平面外一点,且平面,分别为,上的点,且,则( )A.B.C.1D.7为迎接2022年冬奥会,某校在体育冰球课上加强冰球射门训练,现从甲、乙两队中各选出5名球员,并分别将他们依次编号为1,2,3,4,5进行射门训练,他们的进球次数如折线图所示,则在这次训练中以下说法正确的是()A.甲队球员进球的中位数比乙队大B.乙队球员进球的中位数比甲队大C.乙队球员进球水平比甲队稳定D.甲队球员进球数的极差比乙队小8已知的顶点B,C在椭圆上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在BC边上,则的周长是()A.B.C.8D.169数列1,6,15,28,45,中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米,故称它们为六边形数,那么第11个六边形数为()A.153B.190C.231D.27610下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图,如果输入a=102,b= 238,则输出的a的值为()A.17B.34C.36D.6811有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A.B.C.D.12从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的事件是( )A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13如图,四棱锥的底面是正方形,底面,为的中点,若,则点到平面的距离为_.14已知,满足约束条件则的最小值为_15设P为圆上一动点,Q为直线上一动点,O为坐标原点,则的最小值为_16设函数f(x)在R上满足f(x)xf(x)0,若a(30.3)f(30.3),b(log3)f(log3),则a与b的大小关系为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知数列的前n项和为,且,数列满足,.(1)求和的通项公式; (2)求数列的前n项和 .18(12分)已知函数(m0).(1)当m=0时,求曲线在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若函数的最小值为,求实数m的值.19(12分)已知椭圆的左焦点为,点到短袖的一个端点的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)过点作斜率为的直线,与椭圆交于,两点,若,求的取值范围.20(12分)已知等比数列的前项和为,数列的前项和为,且,(1)分别求数列和的通项公式;(2)若,为数列的前项和,是否存在不同的正整数,(其中,成等差数列),使得,成等比数列?若存在,求出所有满足条件的,的值;若不存在,说明理由21(12分)已知等差数列中,前5项的和为,数列满足,(1)求数列,的通项公式;(2)记,求数列的前n项和22(10分)如图,已知顶点,动点分别在轴,轴上移动,延长至点,使得,且.(1)求动点的轨迹;(2)过点分别作直线交曲线于两点,若直线的倾斜角互补,证明:直线的斜率为定值;(3)过点分别作直线交曲线于两点,若,直线是否经过定点?若是,求出该定点,若不是,说明理由.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据椭圆的定义写出,再根据条件即可解得答案.【详解】根据P为椭圆C:上一点,则有,又,所以,故选:B.2、A【解析】根据两直线平行的条件列方程,化简求得,检验后确定正确答案.【详解】由于直线与直线平行,所以,或,当时,两直线方程都为,即两直线重合,所以不符合题意.经检验可知符合题意.故选:A3、C【解析】求出函数的导数,利用导数确定函数的单调性,即可求出函数的极大值点【详解】,当时,单调递减,当时,单调递增,当时,单调递减,函数在的极大值点为故选:C4、C【解析】先求出圆的圆心坐标,根据条件可得直线过圆心,从而可得,然后由,展开利用均值不等式可得答案.【详解】由圆可得标准方程为,因为圆关于直线对称,该直线经过圆心,即,当且仅当,即时取等号,故选:C.5、B【解析】求出点到直线的距离的取值范围,对点是否为直角顶点进行分类讨论,确定、的等量关系,综合可得出结论.【详解】设点,则点到直线的距离为.因为椭圆与直线均关于原点对称,若为直角顶点,则.当时,此时,不可能是等腰直角三角形;当时,此时,满足是等腰直角三角形的直角顶点有两个;当时,此时,满足是等腰直角三角形的直角顶点有四个;若不是直角顶点,则.当时,满足是等腰直角三角形的非直角顶点不存在;当时,满足是等腰直角三角形的非直角顶点有两个;当时,满足是等腰直角三角形非直角顶点有四个.综上所述,当时,满足是等腰直角三角形的点有八个;当时,满足是等腰直角三角形的点有六个;当时,满足是等腰直角三角形的点有四个;当时,满足是等腰直角三角形的点有两个;当时,满足是等腰直角三角形的点不存在.故选:B.6、B【解析】由,得,然后利用向量的加减法法则把向量用向量表示出来,可求出的值,从而可得答案【详解】解:因为,所以所以,因为,所以,所以,故选:B7、C【解析】根据折线图,求出甲乙中位数、平均数及方差、极差,即可判断各选项的正误.【详解】由题图,甲队数据从小到大排序为,乙队数据从小到大排序为,所以甲乙两队的平均数都为5,甲、乙进球中位数相同都为5,A、B错误;甲队方差为,乙队方差为,即,故乙队球员进球水平比甲队稳定,C正确.甲队极差为6,乙队极差为4,故甲队极差比乙队大,D错误.故选:C8、D【解析】根据椭圆定义求解【详解】由椭圆定义得的周长是,故选:D.9、C【解析】细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等,结合图形即可求解.【详解】由题意知,数列的各项为1,6,15,28,45,.所以,所以.故选:C10、B【解析】根据程序框图所示代入运行即可.【详解】初始输入:;第一次运算:;第二次运算:;第三次运算:;第四次运算:;结束,输出34.故选:B.11、A【解析】每个同学参加的情形都有3种,故两个同学参加一组的情形有9种,而参加同一组的情形只有3种,所求的概率为p=选A12、C【解析】列举每个事件所包含的基本事件,结合互斥事件和对立事件的定义,逐项判断.【详解】A:事件:“至少有一个黑球”与事件:“都是黑球”可以同时发生,如:两个都是黑球,这两个事件不是互斥事件,故错误;B:事件:“至少有一个黑球”与事件:“至少有一个红球”可以同时发生,如:一个红球一个黑球,故错误;C:事件:“恰好有一个黑球”与事件:“恰有两个黑球”不能同时发生,但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球,两个事件是互斥事件但不是对立事件,故正确D:事件:“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生,但一定会有一个发生,这两个事件是对立事件,故错误;故选:C二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得点到平面的距离.【详解】因为底面,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,则、,设平面的法向量为,则,取,可得,所以,点到平面的距离为.故答案为:.14、2【解析】由题意,根据约束条件作出可行域图,如图所示,将目标函数转化为,作出其平行直线,并将其在可行域内平行上下移动,当移到顶点时,在轴上的截距最小,即.15、4【解析】取点,可得,从而,从而可求解【详解】解:由圆,得圆心,半径,取点A(3,0),则,又,当且仅当直线时取等号故答案为:16、ab【解析】构造函数F(x)xf(x),利用F(x)的单调性求解即可.【详解】设函数F(x)xf(x),F(x)f(x)xf(x)0,F(x)xf(x)在R上为增函数,又30.31,log31,30.3log3,F(30.3)F(log3),(30.3)f(30.3)(log3)f(log3),ab.故答案为:ab.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】(1)求数列的通项公式主要利用求解,分情况求解后要验证是否满足的通项公式,将求得的代入整理即可得到的通项公式;(2)整理数列的通项公式得,依据特点采用错位相减法求和试题解析:(1),当时,.当时,.时,满足上式,.又,解得:.故,.(2),由-得:,.考点:1.数列通项公式求解;2.错位相减法求和【方法点睛】求数列的通项公式主要利用,分情况求解后,验证的值是否满足关系式,解决非等差等比数列求和问题,主要有两种思路:其一,转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解(即分组求和)或错位相减来完成,其二,不能转化为等差等比数列的,往往通过裂项相消法,倒序相加法来求和,本题中,根据特点采用错位相减法求和18、(1)(2)【解析】(1)求导,利用导函数的几何意义求解切线方程的斜率,进而求出切线方程;(2)对导函数再次求导,判断其单调性,结合隐零点求出其最小值,列出方程,求出实数m的值.【小问1详解】当时,因为,所以切线的斜率为,所以切线方程为,即.【小问2详解】因为,令,因为,所以在上单调递增,当实数时,;当实数时,;当实数时,所以总存在一个,使得,且当时,;当时,所以,令,因为,所以单调
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