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全国名校大联考2024届数学高二上期末质量检测试题注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知函数,当时,函数在,上均为增函数,则的取值范围是A.B.C.D.2已知函数在上单调递增,则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.3若直线的倾斜角为120,则直线的斜率为()A.B.C.D.4在等腰中,在线段斜边上任取一点,则线段的长度大于的长度的概率()A.B.C.D.5如图,是平面上两点,且,图中的一系列圆是圆心分别为,的两组同心圆,每组同心圆的半径分别是1,2,3,A,B,C,D,E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以,为焦点的椭圆M上,则( )A.点B和C都在椭圆M上B.点C和D都在椭圆M上C.点D和E都在椭圆M上D.点E和B都在椭圆M上6设斜率为2的直线l过抛物线()的焦点F,且和y轴交于点A,若(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )A.B.C.D.7已知向量,且,则()A.B.C.D.8设抛物线的焦点为,点为抛物线上一点,点坐标为,则的最小值为()A.B.C.D.9如图,奥运五环由5个奥林匹克环套接组成,环从左到右互相套接,上面是蓝、黑、红环,下面是黄,绿环,整个造形为一个底部小的规则梯形为迎接北京冬奥会召开,某机构定制一批奥运五环旗,已知该五环旗的5个奥林匹克环的内圈半径为1,外圈半径为1.2,相邻圆环圆心水平距离为2.6,两排圆环圆心垂直距离为1.1,则相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为( )A.B.2.8C.D.2.910已知平面直角坐标系内一动点P,满足圆上存在一点Q使得,则所有满足条件的点P构成图形的面积为( )A.B.C.D.11已知数列是等比数列,是函数的两个不同零点,则( )A.16B.C.14D.12已知是等比数列,则( )A.数列是等差数列B.数列是等比数列C.数列是等差数列D.数列是等比数列二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13六面体的所有棱长都为2,底面ABCD是正方形,AC与BD的交点是O,若,则_.14椭圆的两焦点为,P为C上的一点(P与,不共线),则的周长为_.15已知直线,为抛物线上一点,则到这两条直线距离之和的最小值为_.16已知椭圆的左、右焦点分别为,P为椭圆上一点,满足 (O为坐标原点)若,则椭圆的离心率为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知圆经过点和,且圆心在直线上.(1)求圆的方程;(2)过原点的直线与圆交于M,N两点,若的面积为,求直线的方程.18(12分)如图,在四棱锥中,底面,为上一点,且.请用空间向量知识解答下列问题:(1)求证:平面;(2)求平面与平面夹角的大小.19(12分)已知数列的前项和为,.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和;(3)若数列,求前项和.20(12分)如图,在几何体中,底面是边长为2的正三角形,平面,且,是的中点(1)求证:平面;(2)求异面直线与所成的角的余弦值21(12分)已知等差数列的前n项和为,且.(1)求数列的通项公式及;(2)设,求数列的前n项和.22(10分)已知等差数列中,(1)分别求数列的通项公式和前项和;(2)设,求参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由,函数在上均为增函数,恒成立,,设,则,又设,则满足线性约束条件,画出可行域如图所示,由图象可知在点取最大值为,在点取最小值.则的取值范围是,故答案选A考点:利用导数研究函数的性质,简单的线性规划2、D【解析】根据题意参变分离得到,求出的最小值,进而求出实数a的取值范围.【详解】由题意得:在上恒成立,即,其中在处取得最小值,所以,解得:,故选:D3、B【解析】求得倾斜角的正切值即得【详解】k=tan120=.故选:B4、C【解析】利用几何概型的长度比值,即可计算.【详解】设直角边长,斜边,则线段的长度大于的长度的概率.故选:C5、C【解析】根据椭圆的定义判断即可求解.【详解】因为,所以椭圆M中,因为,,所以D,E在椭圆M上.故选:C6、B【解析】根据抛物线的方程写出焦点坐标,求出直线的方程、点的坐标,最后根据三角形面积公式进行求解即可.【详解】抛物线的焦点的坐标为,所以直线的方程为:,令,解得,因此点的坐标为:,因为面积为4,所以有,即,因此抛物线的方程为.故选:B.7、A【解析】利用空间向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由题意可得,解得,所以.故选:A8、B【解析】设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|PD|,进而把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值,即可求解【详解】解:由题意,设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|PD|,所以要求|PM|+|PF|的最小值,即求|PM|+|PD|的最小值,当D,P,M三点共线时,|PM|+|PD|取得最小值为故选:B9、C【解析】根据题意作出辅助线直接求解即可.【详解】如图所示,由题意可知,在中,取的中点,连接,所以,又因为,所以,所以即相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为.故选:C10、D【解析】先找临界情况当PQ与圆C相切时,进而可得满足条件的点P形成的图形为大圆(包括内部),即求.【详解】当PQ与圆C相切时,这种情况为临界情况,当P往外时无法找到点Q使,当P往里时,可以找到Q使,故满足条件的点P形成的图形为大圆(包括内部),如图,由圆,可知圆心,半径为1,则大圆的半径为,所有满足条件的点P构成图形的面积为.故选:D.【点睛】关键点点睛:本题的关键是找出临界情况时点所满足的条件,进而即可得到动点满足条件的图形,问题即可解决.11、B【解析】由题意得到,根据等比数列的性质得到,化简,即可求解.【详解】由,是函数的两个不同零点,可得,根据等比数列的性质,可得则.故选:B.12、B【解析】取,可判断AC选项;利用等比数列的定义可判断B选项;取可判断D选项.【详解】若,则、无意义,A错C错;设等比数列的公比为,则,(常数),故数列是等比数列,B对;取,则,数列为等比数列,因为,且,所以,数列不是等比数列,D错.故选:B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】结合空间向量运算求得.【详解】,.所以.故答案为:14、【解析】结合椭圆的定义求得正确答案.【详解】椭圆方程为,所以,所以三角形的周长为.故答案为:15、【解析】过作,垂足分别为,由直线为抛物线的准线,转化,当三点共线时,取得最小值【详解】过作,垂足分别为抛物线的焦点为直线为抛物线的准线由抛物线的定义,故,当三点共线时,取得最小值故最小值为点到直线的距离:故答案为:16、# 【解析】由可得,再结合椭圆的性质可得为直角三角形,由题意设,则,由勾股定理可得,再结合椭圆的定义可求出离心率【详解】因为,所以,所以,因为,所以,所以为直角三角形,即,所以设,则,所以,得,因为则,所以,所以,即离心率为,故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1) (2)直线的方程为或或【解析】(1)由弦的中垂线与直线的交点为圆心即可求解;(2)由,可得或,进而有或,显然直线斜率存在,设直线,由点到直线的距离公式求出的值即可得答案.【小问1详解】解:设弦的中点为,则有,因为,所以直线,所以直线的中垂线为,则圆心在直线上,且在直线上,联立方程解得圆心, 则圆的半径为, 所以圆方程为;【小问2详解】解:设圆心到直线的距离为,因为,所以或,所以或,显然直线斜率存在,所以设直线,则或,解得或或,故直线的方程为或或.18、(1)证明见解析(2)【解析】(1)以为原点,、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,证明出,结合线面垂直的判定定理可证得结论成立;(2)利用空间向量法可求得平面与平面夹角的大小.【小问1详解】证明:底面,故以为原点,、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则、,所以,则,即,又,所以,平面.【小问2详解】解:知,设平面的法向量为,则,即,令,可得,设平面的法向量为,由,即,令,可得,因此,平面与平面夹角的大小为.19、(1)(2)(3)【解析】(1)由可求得的值,令,由可得,两式作差可推导出数列为等比数列,确定该数列的首项和公比,即可求得数列的通项公式;(2)求得,利用错位相减法可求得;(3)利用奇偶分组法,结合等差数列和等比数列的求和公式可求得.【小问1详解】解:当时,可得,当时,由可得,上述两个等式作差得,可得,所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列,故.【小问2详解】解:,所以,所以,上述两个等式作差得,因此,.【小问3详解】解:由题意可得,所以,.20、(1)证明见解析; (2).【解析】(1)设为中点,连接,证明四边形为平行四边形即可;(2)确定异面直线与所成的角为,计算三角形各边长,根据余弦定理计算得到答案.【小问1详解】设为中点,连接,为中点,是的中点,故,且,故,且,四边形为平行四边形,平面,平面,故平面.【小问2详解】,故异面直线与所成的角为,在中:,.根据余弦定理:,所以异面直线与所成的角的余弦值为.21、(1) (2)【解析】(1)设等差数列的公差为,根据已知条件可得出关于、的方程组,解出这两个量的值,利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式,利用等差数列前n项和公式求出;(2)求得,利用裂项相消法即可求得.【小问1详解】设等差数列的公差为,由,解得,所以,故数列的通项公式,;【小问2详解】由(1)可得,所以,所以.
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