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全国百校联盟2023-2024学年高二上数学期末质量检测模拟试题考生须知:1全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1过点且斜率为的直线方程为( )A.B.C.D.2若复数满足,则复平面内表示的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3在如图所示的棱长为1的正方体中,点P在侧面所在的平面上运动,则下列四个命题中真命题的个数是( )若点P总满足,则动点P的轨迹是一条直线若点P到点A的距离为,则动点P的轨迹是一个周长为的圆若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1,则动点P的轨迹是椭圆若点P到平面的距离与到直线CD的距离相等,则动点P的轨迹是抛物线A.1B.2C.3D.44随机抽取甲乙两位同学连续9次成绩(单位:分),得到如图所示的成绩茎叶图,关于这9次成绩,则下列说法正确的是()A.甲成绩的中位数为33B.乙成绩的极差为40C.甲乙两人成绩的众数相等D.甲成绩的平均数低于乙成绩的平均数5已知抛物线的焦点为F,点是抛物线上的动点,则当的值最小时,=( )A.1B.2C.D.46已知椭圆的左、右焦点分别为、,点A是椭圆短轴的一个顶点,且,则椭圆的离心率()A.B.C.D.7已知双曲线的两个焦点,是双曲线上一点,且,则双曲线的标准方程是()A.B.C.D.8抛物线的焦点是A.B.C.D.9已知函数,则()A.B.C.D.10设等差数列的前n项和为,若,则( )A.60B.80C.90D.10011等差数列前项和,已知,则的值是( ).A.B.C.D.12已知函数,则()A.0B.1C.2D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13命题,恒成立是假命题,则实数a取值范围是_14万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长为_cm.15若不等式的解集为,则_16将集合且中所有的元素从小到大排列得到的数列记为,则_(填数值).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知p:关于x的方程至多有一个实数解,.(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.18(12分)给定函数.(1)判断函数f(x)的单调性,并求出f(x)的极值;(2)画出函数f(x)的大致图象,无须说明理由(要求:坐标系中要标出关键点);(3)求出方程的解的个数.19(12分)写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题:(1)若,则;(2)已知为实数,若,则20(12分)某中学共有名学生,其中高一年级有名学生,为了解学生的睡眠情况,用分层抽样的方法,在三个年级中抽取了名学生,依据每名学生的睡眠时间(单位:小时),绘制出了如图所示的频率分布直方图.(1)求样本中高一年级学生的人数及图中的值;(2)估计样本数据的中位数(保留两位小数);(3)估计全校睡眠时间超过个小时的学生人数.21(12分)如图,四棱锥的底面是正方形,平面平面,E为的中点(1)若,证明:;(2)求直线与平面所成角的余弦值的取值范围22(10分)如图,在四棱锥中,底面,是的中点,.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】由题意可知所求直线的方程为,即.故选:B.2、A【解析】根据复数的运算法则,求得,结合复数的几何意义,即可求解.【详解】由题意,复数满足,可得,所以复数在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.故选:A.3、C【解析】根据线面关系、距离关系可分别对每一个命题判断.【详解】若点P总满足,又,可得对角面,因此点P的轨迹是直线,故正确若点P到点A的距离为,则动点P的轨迹是以点B为圆心,以1为半径的圆(在平面内),因此圆的周长为,故正确点P到直线AB的距离PB与到点C的距离PC之和为1,又,则动点P的轨迹是线段BC,因此不正确点P到平面的距离(即到直线的距离)与到直线CD的距离(即到点C的距离)相等,则动点P的轨迹是以线段BC的中点为顶点,直线BC为对称轴的抛物线(在平面内),因此正确故有三个故选:C4、D【解析】按照茎叶图所给的数据计算即可.【详解】由茎叶图可知,甲的成绩为:11,22,23,24,32,32,33,41,52,其中位数为32,众数为32,平均数为;乙的成绩为:10,22,31,32,35,42,42,50,52,极差为52-10=42,众数为42,平均数为;由以上数据可知,A错误,B错误,C错误,D正确;故选:D.5、B【解析】根据抛物线定义,转化,要使有最小值,只需最大,即直线与抛物线相切,联立直线方程与抛物线方程,求出斜率,然后求出点坐标,即可求解.【详解】由题知,抛物线的准线方程为,过P作垂直于准线于,连接,由抛物线定义知.由正弦函数知,要使最小值,即最小,即最大,即直线斜率最大,即直线与抛物线相切.设所在的直线方程为:,联立抛物线方程:,整理得:则,解得即,解得,代入得或,再利用焦半径公式得故选:B.关键点睛:本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,解题的关键是要将取最小值转化为直线斜率最大,再转化为抛物线的切线,考查学生的转化思想与运算求解能力,属于中档题.6、D【解析】依题意,不妨设点A的坐标为,在中,由余弦定理得,再根据离心率公式计算即可.【详解】设椭圆的焦距为,则椭圆的左焦点的坐标为,右焦点的坐标为,依题意,不妨设点A的坐标为,在中,由余弦定理得:,解得.故选:D.【点睛】本题考查椭圆几何性质,在中,利用余弦定理求得是关键,属于中档题.7、D【解析】根据条件设,由条件求得,即可求得双曲线方程.【详解】设,则由已知得,又,又,双曲线的标准方程为.故选:D8、D【解析】先判断焦点的位置,再从标准型中找出即得焦点坐标.【详解】焦点在轴上,又,故焦点坐标为,故选D.【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标,首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程,从而得到焦点的位置和焦点的坐标.9、B【解析】求出,代值计算可得的值.【详解】因为,则,故.故选:B.10、D【解析】由题设条件求出,从而可求.【详解】设公差为,因为,故,解得,故,故选:D.11、C【解析】由题意,设等差数列的公差为,则,故,故,故选12、C【解析】对函数f(x)求导即可求得结果.【详解】函数,则,故选C【点睛】本题考查正弦函数的导数的应用,属于简单题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】由命题为假命题可得命题为真命题,由此可求a范围.【详解】命题,恒成立是假命题,又函数在为减函数,实数a的取值范围是,故答案为:.14、20【解析】求出大椭圆的离心率等于小椭圆的离心率,然后求解小椭圆的长轴长【详解】在大椭圆中,则,.因为两椭圆扁平程度相同,所以离心率相等,所以在小椭圆中,结合,得,所以小椭圆的长轴长为20.故填:20.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用,对椭圆相似则离心率相等这一基础知识的考查15、11【解析】根据题意得到2与3是方程的两个根,再根据两根之和与两根之积求出,进而求出答案.【详解】由题意得:2与3是方程的两个根,则,所以.故答案为:1116、992【解析】列举数列的前几项,观察特征,可得出.详解】由题意得观察规律可得中,以为被减数的项共有个,因为,所以是中的第5项,所以.故答案为:992.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1) (2)【解析】(1)根据命题p为真命题,可得,解之即可得解;(2)若p是q的充分不必要条件,则,列出不等式组,解之即可得出答案.【小问1详解】解:命题p:关于x的方程至多有一个实数解,解得,实数a的取值范围是;【小问2详解】解:命题,p是q的充分不必要条件, ,且两式等号不能同时取得,解得,实数m的取值范围是.18、(1)函数的减区间为,增区间为,有极小值,无极大值; (2)具体见解析; (3)具体见解析.【解析】(1)对函数求导,进而求出单调区间和极值;(2)结合(1),并代入几个特殊点,再结合函数的变化趋势作出图象;(3)结合(2),采用数形结合的方法求得答案.【小问1详解】,时,单调递减,时,单调递增,故函数在x=-1处取得极小值为,无极大值.【小问2详解】作图说明:由(1)可知函数先减后增,有极小值;描出极小值点,原点和点(1,e);当时,函数增加得越来越快,当时,函数越来越接近于0.【小问3详解】结合图象可知,若,则方程有0个解;若,则方程有2个解;若或,则方程有1个解.19、(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】(1)(2)根据逆命题、否命题以及逆否命题的定义作答即可;【小问1详解】解:逆命题:若,则;否命题:若,则;逆否命题:若,则【小问2详解】解:逆命题:已知为实数,若,则;否命题:已知为实数,若或,则;逆否命题:已知实数,若,则或20、(1)样本中高一年级学生的人数为,;(2);(3)【解析】(1)利用分层抽样可求得样本中高一年级学生的人数,利用频率直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值;(2)利用中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值;(3)利用频率分布直方图可计算出全校睡眠时间超过个小时的学生人数.【小问1详解】解:样本中高一年级学生的人数为.,解得.【小问2详解】解:设中位数为,前两个矩形的面积之和为,前三个矩形的面积之和为,所以,则,得,故样本数据的中位数约为.【小问3详解】解:由图可知,样本数据落在的频率为,故全校睡眠时间超过个小时的学生人数约为.21、(1)证明见解析; (2).【解析】(1)取的中点F,连接先证明,即证平面,原题即得证;(2)
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