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江苏省灌云高级中学2023-2024学年高二上数学期末统考模拟试题注意事项1考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回2答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效5如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知,是双曲线的左右焦点,过的直线与曲线的右支交于两点,则的周长的最小值为( )A.B.C.D.2总体由编号为的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体,选取的方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始,由左到右一次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为()A.20B.26C.17D.033数学家欧拉1765年在其所著的三角形几何学一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知ABC的顶点分别为,则ABC的欧拉线方程为()A.B.C.D.4执行如图所示的程序框图,如果输入,那么输出的a值为()A.3B.27C.-9D.95古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262公元前190年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果,著作中有这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k0且k1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0,0),A(3,0),动点P(x,y)满,则动点P轨迹与圆的位置关系是()A.相交B.相离C.内切D.外切6在空间四边形中,且,则()A.B.C.D.7方程表示椭圆的充分不必要条件可以是()A.B.C.D.8已知离散型随机变量X的分布列如下:X123P则数学期望()A.B.C.1D.29若动点满足方程,则动点P的轨迹方程为()A.B.C.D.10设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为()A.B.C.D.11已知抛物线的焦点为F,点是抛物线上的动点,则当的值最小时,=( )A.1B.2C.D.412在三棱锥中,D为上的点,且,则( )A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知椭圆的焦点分别为,A为椭圆上一点,则_14已知变量X,Y的一组样本数据如下表所示,其中有一个数据丢失,用a表示若根据这组样本利用最小二乘法求得的Y关于X的回归直线方程为,则_X1491625Y2a369314215曲线在点(1,1)处的切线方程为_16已知正项等比数列的前项和为,且,则_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知椭圆的焦距为,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若斜率为1的直线与椭圆交于不同的两点,求的最大值.18(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.点P是椭圆上的一动点,且P在第一象限.记的面积为S,当时,.(1)求椭圆E的标准方程;(2)如图,PF1,PF2的延长线分别交椭圆于点M,N,记和的面积分别为S1和S2.(i)求证:存在常数,使得成立;(ii)求S2- S1的最大值.19(12分)已知函数的图像在(为自然对数的底数)处取得极值.(1)求实数的值;(2)若不等式在恒成立,求的取值范围.20(12分)已知函数f(x)(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)求证:21(12分)已知椭圆C:的离心率为,点和点都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上是否存在点Q(不与O重合),使得?若存在,求点Q的坐标,若不存在,说明理由22(10分)已知数列和中,且,.(1)写出,猜想数列和的通项公式并证明;(2)若对于任意都有,求的取值范围.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据双曲线的定义和性质,当弦垂直于轴时,即可求出三角形的周长的最小值.【详解】由双曲线可知:的周长为.当轴时,周长最小值为故选:C2、D【解析】根据题目要求选取数字,在30以内的正整数符合要求,不在30以内的不合要求,舍去,与已经选取过重复的舍去,找到第5个个体的编号.【详解】已知选取方法为从第一行的第3列和第4列数字开始,由左到右一次选取两个数字,所以选取出来的数字分别为12(符合要求),13(符合要求),40(不合要求),33(不合要求),20(符合要求),38(不合要求),26(符合要求),13(与前面重复,不合要求),89(不合要求),51(不合要求),03(符合要求),故选出来的第5个个体的编号为03.故选:D3、A【解析】求出重心坐标,求出AB边上高和AC边上高所在直线方程,联立两直线可得垂心坐标,即可求出欧拉线方程.【详解】由题可知,ABC的重心为,可得直线AB的斜率为,则AB边上高所在的直线斜率为,则方程为,直线AC的斜率为,则AC边上高所在的直线斜率为2,则方程为,联立方程可得ABC的垂心为,则直线GH斜率为,则可得直线GH方程为,故ABC的欧拉线方程为.故选:A.4、B【解析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环累乘值,并判断满足时输出的值【详解】解:模拟执行程序框图,可得,时,不满足条件,;不满足条件,;不满足条件,;满足条件,退出循环,输出的值为27故选:5、A【解析】首先求得点的轨迹,再利用圆心距与半径的关系,即可判断两圆的位置关系.【详解】由条件可知,化简为:,动点的轨迹是以为圆心,2为半径的圆,圆是以为圆心,为半径的圆,两圆圆心间的距离,所以两圆相交.故选:A6、A【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】.故选:A.7、D【解析】由“方程表示椭圆”可求得实数的取值范围,结合充分不必要条件的定义可得出结论.【详解】若方程表示椭圆,则,解得或.故方程表示椭圆的充分不必要条件可以是.故选:D.8、D【解析】利用已知条件,结合期望公式求解即可【详解】解:由题意可知:故选:D9、A【解析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程,从而求出轨迹方程.【详解】由题意得:到与的距离之和为8,且84,故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程,故,所以,所以椭圆方程为.故选:A10、C【解析】利用函数的奇偶性求出,求出函数的导数,根据导数的几何意义,利用点斜式即可求出结果【详解】函数的定义域为,若为奇函数,则则,即,所以,所以函数,可得;所以曲线在点处的切线的斜率为,则曲线在点处的切线方程为,即故选:C11、B【解析】根据抛物线定义,转化,要使有最小值,只需最大,即直线与抛物线相切,联立直线方程与抛物线方程,求出斜率,然后求出点坐标,即可求解.【详解】由题知,抛物线的准线方程为,过P作垂直于准线于,连接,由抛物线定义知.由正弦函数知,要使最小值,即最小,即最大,即直线斜率最大,即直线与抛物线相切.设所在的直线方程为:,联立抛物线方程:,整理得:则,解得即,解得,代入得或,再利用焦半径公式得故选:B.关键点睛:本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,解题的关键是要将取最小值转化为直线斜率最大,再转化为抛物线的切线,考查学生的转化思想与运算求解能力,属于中档题.12、B【解析】根据几何关系以及空间向量的线性运算即可解出【详解】因为,所以,即故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】直接利用椭圆的定义即可求解.【详解】因为椭圆的焦点分别为,A为椭圆上一点,所以.故答案为:414、17【解析】根据回归直线必过样本点中心即可解出【详解】因为,所以,解得故答案为:1715、【解析】根据导数的几何意义求出切线的斜率,再根据点斜式可求出结果.【详解】因为,所以曲线在点(1,1)处的切线的斜率为,所以所求切线方程为:,即.故答案为:.16、【解析】根据给定条件求出正项等比数列的公比即可计算作答.【详解】设正项等比数列的公比为,依题意,即,而,解得,所以.故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】(1)由题设可得且,结合椭圆参数关系求,即可得椭圆的方程;(2)设直线为,联立抛物线整理成一元二次方程的形式,由求m的范围,再应用韦达定理及弦长公式求关于m的表达式,根据二次函数性质求最值即可.小问1详解】由题设,且,故,则,所以椭圆的方程为.【小问2详解】设直线为,联立椭圆并整理得:,所以,可得,且,所以且,故当时,.18、(1)(2)(i) 存在常数,使得成立;(ii) 的最大值为 .【解析】(1)求点P的坐标,再利用面积和离心率,可以求出,然后就可以得到椭圆的标准方程;(2)设点的坐标和直线方程,联立方程,解出的y坐标值与P的坐标之间的关系,求以焦距为底边的三角形面积;利用均值定理 当且仅当 时取等号,求最大值.【小问1详解】先求第一象限P点坐标:,所以P点的坐标为,所以,所以椭圆E的方程为【小问2详解】设,易知直线和直线的坐标均不为零,因为,所以设直线的方程为,直线的方程为,由所以,因为,所以所以同理由所以,因为,所以所以,因为,(i)所以所以存在常数,使得成立.(ii),当且仅当,时取等号,所以的最大值为 .19、(1) (2)【解析】(1)由求得的值.(2)由分离常数,通过构造函数法,结合导数求得的取值范围.【小问1详解】因为,所以,因为函数的图像在点处取得极值,所以,经检验,符合题意,所以;【小问2详解】由(1)知,所以在恒成立,即对任意恒成立.令,则.设,易得是增函数,所以,所以,所以函数在上为增函数,则,所以.20、(1)y=5x1;(2)证明见解析【解析】(1)求出导函数,求出切线的斜率,切点坐标,然后求切线方程(2)不等式化简为设,求出导函数,判断函数的单调性求解函数的最值,然后证明即可【详解】解:(1)的定义域为,的导数由(1)可得,则切点坐标为,所求切线
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