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江西省赣州市会昌县2023-2024学年高二数学第一学期期末综合测试模拟试题注意事项1考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回2答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效5如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1抛物线的准线方程为()A.B.C.D.2设等差数列的前n项和为若,则()A.19B.21C.23D.383双曲线 的渐近线方程为A.B.C.D.4双曲线的焦距是()A.4B.C.8D.5某地区高中分三类,A类学校共有学生2000人,B类学校共有学生3000人,C类学校共有学生4000人,若采取分层抽样的方法抽取900人,则A类学校中的学生甲被抽到的概率( )A.B.C.D.6椭圆:与双曲线:的离心率之积为2,则双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.7若在 1 和 16 中间插入 3 个数,使这 5 个数成等比数列,则公比为()A.B.2C.D.482021年小林大学毕业后,9月1日开始工作,他决定给自己开一张储蓄银行卡,每月的10号存钱至该银行卡(假设当天存钱次日到账).2021年9月10日他给卡上存入1元,以后每月存的钱数比上个月多一倍,则他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到1万元的时间为()A.2022年12月11日B.2022年11月11日C.2022年10月11日D.2022年9月11日9内角、的对边分别为、,若,则()A.B.C.D.10设实数x,y满足,则目标函数的最大值是()A.B.C.16D.3211设正方体的棱长为,则点到平面的距离是()A.B.C.D.12三个实数构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为()A.B.C.或D.或二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知曲线在点处的切线的斜率为,则_14一条光线经过点射到直线上,被反射后经过点,则入射光线所在直线的方程为_.15已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上的点P满足轴,则该椭圆的离心率为_16长方体中,已知点H,A,三点共线,且,则点H到平面ABCD的距离为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知椭圆的右顶点为,上顶点为.离心率为,.(1)求椭圆的标准方程;(2)若,是椭圆上异于长轴端点的两点(斜率不为0),已知直线,且,垂足为,垂足为,若,且的面积是面积的5倍,求面积的最大值.18(12分)为庆祝中国共产党成立100周年,某校举行了党史知识竞赛,在必答题环节,甲、乙两位选手分别从3道选择题(1)甲至少抽到1道填空题(2)甲答对的题数比乙多的概率.19(12分)四棱锥中,平面,四边形为平行四边形,(1)若为中点,求证平面;(2)若,求面与面的夹角的余弦值.20(12分)已知动圆过点 且动圆内切于定圆: 记动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若、是曲线上两点,点 满足 求直线的方程.21(12分)已知函数(是自然对数的底数) .(1)求的单调区间;(2)求函数的零点的个数.22(10分)已知二次函数,令,解得.(1)求二次函数的解析式;(2)当关于的不等式恒成立时,求实数的范围.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】将抛物线的方程化成标准形式,即可得到答案;【详解】抛物线的方程化成标准形式,准线方程为,故选:A.2、A【解析】由已知及等差数列的通项公式得到公差d,再利用前n项和公式计算即可.【详解】设等差数列的公差为d,由已知,得,解得,所以.故选:A3、A【解析】根据双曲线的渐近线方程知,故选A.4、C【解析】根据,先求半焦距,再求焦距即可.【详解】解:由题意可得,故选:C【点睛】考查求双曲线的焦距,基础题.5、D【解析】利用抽样的性质求解【详解】所有学生数为,所以所求概率为.故选:D6、C【解析】先求出椭圆的离心率,再由题意得出双曲线的离心率,根据离心率即可求出渐近线斜率得解.【详解】椭圆:的离心率为,则,依题意,双曲线;的离心率为,而,于是得,解得:,所以双曲线的渐近线方程为故选:C7、A【解析】根据等比数列的通项得:,从而可求出.【详解】解:成等比数列,根据等比数列的通项得:,故选:A.8、C【解析】分析可得每月所存钱数依次成首项为1,公比为2的等比数列,其前n项和为,分析首次达到1万元的值,即得解【详解】依题意可知,小林从第一个月开始,每月所存钱数依次成首项为1,公比为2的等比数列,其前n项和为.因为为增函数,且,所以第14个月的10号存完钱后,他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元,即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.故选:C9、C【解析】利用正弦定理可求得边的长.【详解】由正弦定理得.故选:C.10、C【解析】求的最大值即求的最大值,根据约束条件画出可行域,将目标函数看成直线,直线经过可行域内的点,将目标与直线的截距建立联系,然后得到何时目标值取得要求的最值,进而求得的最大值,最后求出的最大值.【详解】要求的最大值即求的最大值.根据实数,满足的条件作出可行域,如图.将目标函数化为.则表示直线在轴上的截距的相反数.要求的最大值,即求直线在轴上的截距最小值.如图当直线过点时,在轴上的截距最小值.由,解得所以的最大值为,则的最大值为16.故选:C.11、D【解析】建立空间直角坐标系,根据空间向量所学点到面的距离公式求解即可.【详解】建立如下图所示空间直角坐标系,以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴.因为正方体的边长为4,所以,所以,设平面的法向量,所以,即,设,所以,即,设点到平面的距离为,所以,故选:D.12、D【解析】根据三个实数构成一个等比数列,解得,然后分,讨论求解.【详解】因为三个实数构成一个等比数列,所以,解得,当时,方程表示焦点在x轴上的椭圆,所以,所以,当时,方程表示焦点在y轴上的双曲线,所以,所以,故选:D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】对求导,根据题设有且,即可得目标式的值.【详解】由题设,且定义域为,则,所以,整理得,又,所以,两边取对数有,得:,即.故答案为:.14、【解析】先求点关于直线的对称点,连接,则直线即为所求.【详解】设点关于直线的对称点为,则,解得,所以,又点,所以,直线的方程为:,由图可知,直线即为入射光线,所以化简得入射光线所在直线的方程:.故答案为:.15、【解析】由题意分析为直角三角形,得到关于a、c的齐次式,即可求出离心率.【详解】设,则.由椭圆的定义可知:,所以.所以因轴,所以为直角三角形,由勾股定理得:,即,即,所以离心率.故答案为:16、【解析】在长方体中,以点A为原点建立空间直角坐标系,利用已知条件求出点H的坐标作答.【详解】在长方体中,以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,因点H,A,三点共线,令,点,则,又,则,解得,所以点到平面ABCD的距离为.故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)面积的最大值为【解析】(1)由离心率为,得,解得,进而可得答案(2)设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理可得,由弦长公式可得,点到直线的距离,则,由的面积是面积的5倍,解得,再计算的最大值,即可【小问1详解】解:因为离心率为,所以,解得,所以【小问2详解】解:设直线的方程为,联立,得,所以,所以,点到直线的距离,所以,因为的面积是面积的5倍,所以所以或,又因为,是椭圆上异于长轴端点的两点,所以,所以,令,所以,因为在上单调递增,所以,(当时,取等号),所以面积的最大值为18、(1);(2).【解析】(1)把3道选择题(2)设,分别表示甲答对1道题,2道题的事件,分别表示乙答对0道题,1道题的事件,分别求出它们的概率,甲答对的题数比乙多这个事件是,然后由相互独立的事件和互斥事件的概率公式计算【详解】解:(1)记3道选择题则试验的样本空间,.共有10个样本点,且每个样本点是等可能发生的,所以这是一个古典概型.记事件A=“甲至少抽到1道填空题,.所以,.所以,.因此,甲至少抽到1道填空题(2)设,分别表示甲答对1道题,2道题的事件,分别表示乙答对0道题,1道题的事件,根据独立性假定,得,.,.记事件B=“甲答对的题数比乙多”,则,且,两两互斥,与,与,与分别相互独立,所以.因此,甲答对的题数比乙多的概率为.19、(1)证明见解析(2)【解析】(1)先证,再证平面即可;(2)建立空间直角坐标系,先求出面与面的法向量,再计算夹角余弦值即可.小问1详解】取中点,连接,则四边形为平行四边形,为直角三角形,且.又平面,平面,.又,平面.【小问2详解】,为等边三角形,取中点,连接,则,以为坐标原点,分别以为轴建立空间坐标系,如图令,则,设面的法向量为,则由得取,则设面的法向量为,则由得取,则设面与面的夹角为,则所以面与面的夹角的余弦值为.20、(1);(2).【解析】(1)根据两圆内切,以及圆过定点列式求轨迹方程;(2)利用重心坐标公式可知,再设直线的方程为与椭圆方程联立,利用根与系数的关系求解直线方程.【详解】(1)由已知可得,两式相加可得 则点的轨迹是以 、 为焦点, 长轴长为的椭圆,则 因此曲线的方程是(2)因为, 则点是的重心, 易得直线的斜率存在, 设直线的方程为,联立 消 得: 且 由解得 则直线的方程为 即 【点睛】本题考查直线与椭圆的问题关系,本题的关键是根据求得,.21、(1)当时,的单调递增区间为,无单调递减区间;当时,的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)时函数没有零点;或时函数有且只有一个零点;时,函数有两个零点.【解析】(1)先对函数求导,然后分和两种情况判断导函数正负,求其单调区间;(2)由,得,构造函数,然后
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