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天津市河北区2023年高二上数学期末经典试题注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知过点的直线l与圆相交于A,B两点,则的取值范围是()A.B.C.D.2一个几何体的三视图都是半径为1的圆,在该几何体内放置一个高度为1的长方体,则长方体的体积最大值为()A.B.C.D.13蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率(每分钟鸣叫的次数)与气温(单位:)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据,建立了关于的线性回归方程,则下列说法不正确的是()(次数/分钟)2030405060()2527.52932.536A.的值是20B.变量,呈正相关关系C.若的值增加1,则的值约增加0.25D.当蟋蟀52次/分鸣叫时,该地当时的气温预报值为33.54设,则“”是“”的A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件5函数,则曲线在点处的切线方程为( )A.B.C.D.6刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作九章算术注和海岛算经是中国宝贵的数学遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是()A.B.C.D.7数列中,若,则( )A.2B.3C.4D.58若直线的倾斜角为120,则直线的斜率为()A.B.C.D.9已知等差数列 的前n 项和为 Sn ,首项 a1 =1,若,则公差 d 的取值范围为( )A.B.C.D.10 “”是直线与直线平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11若函数有两个零点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.12与直线关于轴对称的直线的方程为()A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知双曲线:,斜率为的直线与E的左右两支分别交于A,B两点,点P的坐标为,直线AP交E于另一点C,直线BP交E于另一点D若直线CD的斜率为,则E的离心率为_14在等差数列中,那么等于_.15已知数列满足,定义使()为整数的k叫做“幸福数”,则区间内所有“幸福数”的和为_16如图所示,高尔顿钉板是一个关于概率的模型,每一黑点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此的距离均相等,上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间小球每次下落时,将随机的向两边等概率的落下当有大量的小球都落下时,最终在钉板下面不同位置收集到小球现有5个小球从正上方落下,则恰有3个小球落到2号位置的概率是_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知数列的前n项和为,其中.(1)记,求证:是等比数列;(2)设,数列的前n项和为,求证:.18(12分)已知几何体中,平面平面,是边长为4的菱形,是直角梯形,且(1)求证:;(2)求平面与平面所成角的余弦值19(12分)已知数列的前n项和(1)证明是等比数列,并求的通项公式;(2)在和之间插入n个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,求数列的前n项和20(12分)某校为了了解在校学生的支出情况,组织学生调查了该校2014年至2020年学生的人均月支出y(单位:百元)的数据如下表:年份2014201520162017201820192020年份代号t1234567人均月支出y3.94.34.65.45.86.26.9(1)求2014年至2020年中连续的两年里,两年人均月支出都超过4百元的概率;(2)求y关于t的线性回归方程;(3)利用(2)中的回归方程,预测该校2022年的人均月支出.附:最小二乘估计公式:,21(12分)已知数列是公差为2的等差数列,且满足,成等比数列(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和22(10分)已知椭圆,离心率为,短半轴长为1(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线,问:在椭圆C上是否存在点T,使得点T到直线l的距离最大?若存在,请求出这个最大距离;若不存在,请说明理由参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】经判断点在圆内,与半径相连,所以与垂直时弦长最短,最长为直径【详解】将代入圆方程得:,所以点在圆内,连接,当时,弦长最短,所以弦长,当过圆心时,最长等于直径8,所以的取值范围是故选:D2、B【解析】根据题意得到几何体为半径为1的球,长方体的体对角线为球的直径时,长方体体积最大,设出长方体的长和宽,得到等量关系,利用基本不等式求解体积最大值.【详解】由题意得:此几何体为半径为1的球,长方体为球的内接长方体时,体积最大,此时长方体的体对角线为球的直径,设长方体长为,宽为,则由题意得:,解得:,而长方体体积为,当且仅当时等号成立,故选:B3、D【解析】根据样本中心过经过线性回归方程、正相关的性质和线性回归方程的意义进行判断即可.【详解】由题意,得,则,故A正确;由线性回归方程可知,变量,呈正相关关系,故B正确;若的值增加1,则的值约增加0.25,故C正确;当时,故D错误.故选:D.4、C【解析】不能推出,反过来,若则成立,故为必要不充分条件.5、D【解析】对函数求导,利用导数的几何意义求出切线斜率即可计算作答.【详解】依题意,即有,而,则过点,斜率为1的直线方程为:,所以曲线在点处切线方程为.故选:D6、B【解析】此点取自该圆内接正六边形的概率是正六边形面积除以圆的面积,分别求出即可.【详解】如图,在单位圆中作其内接正六边形,该正六边形是六个边长等于半径的正三角形,其面积,圆的面积为则所求概率.故选:B【点睛】此题考查几何概率模型求解,关键在于准确求出正六边形的面积和圆的面积.7、C【解析】由已知得数列是以2为首项,以2为公比的等比数列,求出,再利用等比数列求和可得答案.【详解】,所以,数列是以2为首项,以2为公比的等比数列,则,则,解得.故选:C.8、B【解析】求得倾斜角的正切值即得【详解】k=tan120=.故选:B9、A【解析】该等差数列有最大值,可分析得,据此可求解.【详解】,故,故有故d 取值范围为.故选:A10、C【解析】先根据直线平行的充要条件求出a,然后可得.【详解】若,则,显然平行;若直线,则且,即.故“”是直线与直线平行的充要条件.故选:C11、C【解析】函数有两个零点等价于方程有两个根,等价于与图象有两个交点,通过导数分析的单调性,根据图象即可求出求出的范围.【详解】函数有两个零点,方程有两个根,分离参数得,与图象有两个交点,令,令,解得当时,在单调递增,当时,在单调递减,且在处取得极大值及最大值,可以画出函数的大致图象如下:观察图象可以得出.故选:C.【点睛】本题主要考查函数零点的应用,构造函数求函数的导数,利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.12、D【解析】点关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标互为相反数,据此即可求解.【详解】设(x,y)是与直线关于轴对称的直线上任意一点,则(x,y)在上,故,与直线关于轴对称的直线的方程为.故选:D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】分别设线段的中点,线段的中点,再利用点差法可表示出,由平行关系易知三点共线,从而利用斜率相等的关系构造方程,代入整理可得到关系,利用双曲线得到关于的齐次方程,进而求得离心率.【详解】设,线段的中点,两式相减得:设,线段的中点同理可得:,易知三点共线,将代入得:,所以,即,由题意可得,故 .,即故答案为:14、14【解析】根据等差数列的性质得到,求得,再由,即可求解.【详解】因为数列为等差数列,且,根据等差数列的性质,可得,解答,又由.故答案为:14.15、2036【解析】先用换底公式化简之后,将表示出来,找出满足条件的“幸福数”,然后求和即可.【详解】当时,所以,若满足正整数,则,即,所以在内的所有“幸福数”的和为:,故答案为:2036.16、【解析】先研究一个小球从正上方落下的情况,从而可求出一个小球从正上方落下落到2号位置的概率,进而可求出5个小球从正上方落下,则恰有3个小球落到2号位置的概率【详解】如图所示,先研究一个小球从正上方落下的情况,11,12,13,14指小球第2层到第3层的线路图,以此类推,小球所有的路线情况如下:01-11-21-31,01-11-21-32,01-11-22-33,01-11-22-34,01-12-23-33,01-12-23-34,01-12-24-35,01-12-24-36,02-14-26-38,02-14-26-37,02-14-25-35,02-14-25-36,02-13-24-36,02-13-24-35,02-13-23-34,02-13-23-33,共16种情况,其中落入2号位置的有4种,所以每个球落入2号位置的概率为,所以5个小球从正上方落下,则恰有3个小球落到2号位置的概率为,故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析; (2)证明见解析.【解析】(1)应用的关系,结合构造法可得,根据已知条件及等比数列的定义即可证结论.(2)由(1)得,再应用错位相减法求,即可证结论.【小问1详解】证明:对任意的,时,解得,时,因为,两式相减可得:,即有,又,则,因为,所以,对任意的,所以,因此,是首项和公比均为3的等比数列【小问2详解】由(1)得:,则,两式相减得:,化简可得:,又,.18、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)根据菱形的性质,结合面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可;(2)建立空间直角坐标系,根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】(1)证明:连接,交于点,四边形是菱形,平面平面,平面平面,平面,平面,又,、平面,平面,平面,(2)解:取的中点,连接,是边长为4的菱形,
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