唐山市20222023学年度高一年级第一学期学业水平调研考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性求出集合，再根据交集的定义即可得解.【详解】，所以.故选：B.2. （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】由诱导公式一求解即可.【详解】故选：A3. 命题“，”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案.【详解】由题意知命题“，”为存在量词命题，其否定为全程量词命题，即，故选：C4. 若幂函数的图象经过第三象限，则a的值可以是（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的图象和性质，一一判断各选项，即得答案.【详解】当时，为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A不合题意；当时，为偶函数，图象过原点分布在第一和第二象限，图象不经过第三象限，B不合题意；当时，图象过原点分布在第一象限，不经过第三象限，C不合题意；当时，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意，故选：D5. 方程的解一定位于区间（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，再根据零点的存在性定理即可得出答案.【详解】令，定义域为，因为函数在都是增函数，所以函数在是增函数，又因为，则，所以函数在区间上，即方程的解一定位于区间上.故选：C.6. 已知函数满足，则（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别令，然后解方程组可得.【详解】分别令，则，解得.故选：A7. 已知，则“”是“”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解不等式，然后根据集合的包含关系可得.【详解】不等式，解得记，因为，所以“”是“”成立充分不必要条件.故选：A8. 下列结论正确的是（ ）A. B. C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可判断A；根据指数函数与对数函数的单调性结合中间量法即可判断B；根据不等式的性质即可判断CD.【详解】对于A，因为，所以，即，故A错误；对于B，因为，所以，故B错误；对于C，当时，此时，故C错误；对于D，若，则，所以，故D正确.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 将函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度，然后再向下平移2个单位长度，得到函数的图象，则（ ）A. B. 函数为奇函数C. 的图象关于点对称D. 的图象关于直线对称【答案】BD【解析】【分析】根据周期变换和平移变换的原则求出函数的解析式，再根据正余弦函数的性质逐一判断即可.【详解】函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，可得，再向右平移个单位长度，可得，然后再向下平移2个单位长度，可得，故A错误；，因为，所以函数为奇函数，故B正确；因为，所以点不是函数的对称中心，故C错误；因为，所以的图象关于直线对称，故D正确.故选：BD.10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）A. B C. D. 关于x的不等式的解集为【答案】BC【解析】【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，即可由根与系数的关系得，进而结合选项即可求解.【详解】由不等式的解集为，所以和1是方程的两个根，由根与系数的关系可得 ，解得，故A错误，B正确，故C正确，不等式变为，解得，故D错误，故选：BC11. 定义域为R的函数满足，当时，已知，则（ ）A. 的最大值是1B. C. D. 与的图像有4个交点【答案】ACD【解析】【分析】根据的对称性以及周期性即可判断ABC,根据画图，即可根据函数图象的交点个数求解.【详解】对于A，由于在单调递增,故此时，由可知关于对称，故的最大值也为1,又知是周期为2的周期函数，因此在定义域内，故A正确，对于B,，所以，故B错误，对于C, ，故C正确，对于D，在同一直角坐标系中，画出的图象如下图，即可根据图象得两个函数图象有4个交点，故D正确.故选：ACD12. 对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据和角公式结合正弦余弦函数的性质判断AB；取判断C；由结合余弦函数的单调性判断D.【详解】因为，是锐角，所以，故A正确，B错误；当时，（其中），故C错误；因，是锐角，则，而函数在上单调递减，于是得，又，有，D正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. _【答案】【解析】【分析】直接利用对数的换底公式求解即可.【详解】.故答案为：.14. 已知，则_【答案】【解析】【分析】根据诱导公式以及同角关系可得，由正切的二倍角公式即可代入求解.【详解】由得，由可得，故 ，由二倍角公式得，故答案为：15. 已知正数满足，则的最小值为_【答案】9【解析】【分析】利用基本不等式，结合解一元二次不等式，即可求得答案.【详解】对于正数,有,当且仅当时取得等号，故由得，即，所以，故或（舍去）,故，即的最小值为9，当且仅当时取最小值，故答案为：916. 已知函数当时，不等式的解集为_；若是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围为_【答案】 . . 【解析】【分析】分类讨论解分段函数不等式；分段函数单调递增等价于各分段单调递增以及分段处单调递增，分别根据二次函数性质、幂函数性质列式求解即可.【详解】时，由得x无解，或.故所求解集为；是定义在R上的增函数等价于单调递增，单调递增，且，则有，故实数m的取值范围为.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知全集，集合，（1）当时，求，；（2）若，求实数a的取值范围【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）先解不等式得集合A，然后根据集合运算可得；（2）利用数轴分析可解.【小问1详解】解不等式，得当时，所以因为，所以【小问2详解】因为，所以所以，即实数a的取值范围为18. 已知函数，（1）求的单调递增区间；（2）求在区间内的最小值及此时对应的x值【答案】（1） （2）时，【解析】【分析】（1）先根据降幂公式和辅助角公式化简，然后由正弦函数的单调性可得；（2）根据x的范围求得的范围，然后由正弦函数的性质可解.【小问1详解】由，得，的单调递增区间为【小问2详解】因为，所以故当，即时，19. 已知函数（1）判断在定义域内的单调性，并给出证明；（2）求在区间内的值域【答案】（1）单调递减，证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用复合函数的单调性性质，结合对数函数与反比例函数的单调性，可得答案，利用单调性的定义证明即可；（2）根据（1）所得的函数单调性，可得其最值，可得答案.【小问1详解】由函数，则函数在其定义域上单调递减.证明如下：由函数，则，解得，即函数的定义域为，取任意，设，由，则，即，故，所以，则函数在其定义域上单调递减.【小问2详解】由（1）可知函数在其定义域上单调递减，则函数在上，所以函数在上的值域为.20. 某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产百台，需另投入生产成本万元当年产量不足46百台时，；当年产量不小于46百台时，若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完（1）求该企业投资生产这批新型机器的年利润所（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式（利润销售额成本）；（2）这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润【答案】（1） （2）年产量为40百台时，该企业所获利润最大,最大利润是2800万元.【解析】【分析】（1）分和两种情况分别求出年利润所（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式，即得答案；（2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案.【小问1详解】由题意可得当时，当时,所以年利润y（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式为： .【小问2详解】由（1）得时，此时（百台）时，（万元），当时， ，当且仅当，即时等号成立，（万元），而，故（百台）时，利润最大，综上所述：年产量为40百台时，该企业所获利润最大,最大利润是2800万元.21. 已知定义域为的偶函数，当时，（1）求实数a的值及的解析式；（2）解关于t的不等式【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据偶函数定义域关于原点对称即可求出，令，则，根据函数为偶函数即可求得时，函数的解析式，即可得解；（2）先判断函数在上单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可，注意函数的定义域.【小问1详解】因为定义域为的偶函数，所以，解得，则函数的定义域为，又当时，即当时，令，则，所以；【小问2详解】当时，因为函数在上都减函数，所以函数在上是减函数，又函数是定义在上的偶函数，所以关于t的不等式，即为，解得，所以关于t的不等式的解集为.22. 如图，长方形ABCD，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令（1）当时，求梯形BCNM的面积S；（2）求的周长l的最小值，并求此时角的值【答案】（1） （2）当时，.【解析】【分析】（1）在中，由直角三角形的边角关系得出，进而得出梯形BCNM的面积S；（2）由直角三角形的边角关系以及勾股定理得出，再由换元法结合正弦函数的性质求解即可.【小问1详解】，【小问2详解】由（1）可知，令，则，即当，即时，.