9.4双曲线及其性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.双曲线的定义及其标准方程1.了解双曲线的定义,并会用双曲线的定义解题2.了解求双曲线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)2016天津,6双曲线的方程渐近线2015天津,62.双曲线的几何性质1.知道双曲线的简单几何性质(如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等),并能用其解决一些简单的双曲线问题2.理解双曲线离心率的定义,并会求双曲线的离心率2018天津,7双曲线的几何性质点到直线的距离公式2017天津文,5双曲线的渐近线和离心率直线的斜率2014天津,5双曲线的几何性质直线的方程分析解读从高考题来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点,离心率问题也是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,难度不大,分值约为5分,属中档题目,灵活运用双曲线的定义和基本性质是解决双曲线问题的基本方法.主要考查学生分析问题、解决问题的能力以及考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.破考点【考点集训】考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2015天津文,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.x29-y213=1B.x213-y29=1C.x23-y2=1D.x2-y23=1答案D2.(2017课标,5,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1答案B考点二双曲线的几何性质3.(2011北京,10,5分)已知双曲线x2-y2b2=1(b0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b=.答案24.(2016北京,13,5分)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案2炼技法【方法集训】方法1求双曲线的标准方程的方法1.(2016天津文,4,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.x24-y2=1B.x2-y24=1C.3x220-3y25=1D.3x25-3y220=1答案A2.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.x24-y23=1B.x29-y216=1C.x216-y29=1D.x23-y24=1答案C方法2双曲线的渐近线与离心率的求法3.(2017课标,9,5分)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.233答案A4.(2018北京文,12,5分)若双曲线x2a2-y24=1(a0)的离心率为52,则a=.答案45.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与y24-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为.答案x23-y212=1;y=2x过专题【五年高考】A组自主命题天津卷题组考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2016天津,6,5分)已知双曲线x24-y2b2=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.x24-3y24=1B.x24-4y23=1C.x24-y24=1D.x24-y212=1答案D2.(2015天津,6,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为()A.x221-y228=1B.x228-y221=1C.x23-y24=1D.x24-y23=1答案D考点二双曲线的几何性质1.(2018天津,7,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y29=1D.x29-y23=1答案C2.(2017天津文,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x24-y24=1B.x28-y28=1C.x24-y28=1D.x28-y24=1答案B3.(2014天津,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x25-y220=1B.x220-y25=1C.3x225-3y2100=1D.3x2100-3y225=1答案AB组统一命题、省(区、市)卷题组考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2016课标,5,5分)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)答案A2.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x27-y23=1的焦距是.答案2103.(2016浙江文,13,4分)设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.答案(27,8)4.(2015北京文,12,5分)已知(2,0)是双曲线x2-y2b2=1(b0)的一个焦点,则b=.答案35.(2015课标,16,5分)已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,66).当APF周长最小时,该三角形的面积为.答案126考点二双曲线的几何性质1.(2018课标,5,5分)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x答案A2.(2018课标,11,5分)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.23D.4答案B3.(2018课标,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为()A.5B.2C.3D.2答案C4.(2018浙江,2,4分)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是()A.(-2,0),(2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-2),(0,2)答案B5.(2018课标文,10,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.2B.2C.322D.22答案D6.(2017课标文,5,5分)若a1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是()A.(2,+)B.(2,2)C.(1,2)D.(1,2)答案C7.(2017课标文,5,5分)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A.13B.12C.23D.32答案D8.(2015重庆,9,5分)设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()A.12B.22C.1D.2答案C9.(2017课标文,14,5分)双曲线x2a2-y29=1(a0)的一条渐近线方程为y=35x,则a=.答案510.(2017课标,15,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为.答案233C组教师专用题组考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是()A.x2-y24=1B.x24-y2=1C.y24-x2=1D.y2-x24=1答案C2.(2014北京文,10,5分)设双曲线C的两个焦点为(-2,0),(2,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为.答案x2-y2=13.(2012天津文,11,5分)已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)与双曲线C2:x24-y216=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(5,0),则a=,b=.答案1;2考点二双曲线的几何性质1.(2015四川,5,5分)过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=()A.433B.23C.6D.43答案D2.(2014广东,4,5分)若实数k满足0kb0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为()A.x2y=0B.2xy=0C.x2y=0D.2xy=0答案A4.(2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线x2a