第九章 圆锥曲线一基础题组1.【2005天津，文6】设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ）（A）2 （B） （C） （D）【答案】C2.【2006天津，文8】椭圆的中心为点它的一个焦点为相应于焦点F的准线方程为则这个椭圆的方程是( )（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】椭圆的中心为点它的一个焦点为 半焦距，相应于焦点F的准线方程为 ，则这个椭圆的方程是，选D.3.【2007天津，文7】设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（）【答案】D4.【2008天津，文7】设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，排除A、C，由排除D，选B5.【2009天津，文4】设双曲线(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为( )A. B.y2x C. D.【答案】C【解析】由题意知:2b2,则可求得,则双曲线方程为:,故其渐近线方程为.6.【2010天津，文13】已知双曲线 (a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同，则双曲线的方程为_【答案】【解析】解析：由条件知双曲线的焦点为(4,0)，所以解得a2，b2，故双曲线方程为 7.【2011天津，文6】已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为A. B. C. D. 【答案】B8.【2012天津，文11】已知双曲线C1：(a0，b0)与双曲线C2：有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a_，b_【答案】12【解析】C1与C2的渐近线相同，又C1的右焦点为F(，0)，即a2b25a21，b24，a1，b29.【2013天津，文11】已知抛物线y28x的准线过双曲线(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_答案【解析】抛物线y28x的准线为x2，则双曲线的一个焦点为(2,0)，即c2，离心率e2，故a1，由a2b2c2得b23，所以双曲线的方程为.10.【2014天津，文6】已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】A考点：双曲线的渐近线11. 【2015高考天津，文5】已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】由双曲线的渐近线与圆相切得,由,解得,故选D.【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.12.【2016高考天津文数】已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】试题分析：由题意，得又 ，所以所以双曲线的方程为，选A.【考点】双曲线【名师点睛】求双曲线的标准方程的关注点：(1)确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2By21(AB0)若已知渐近线方程为mxny0，则双曲线方程可设为m2x2n2y2(0)二能力题组1.【2011天津，文18】18.（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为,点满足.（）求椭圆的离心率;()设直线与椭圆相交于A,B两点.若直线与圆相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.【答案】(1) (2) 12.【2012天津，文19】已知椭圆ab0)，点P(，)在椭圆上(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点若点Q在椭圆上且满足|AQ|AO|，求直线OQ的斜率的值【答案】（）；（）【解析】解：(1)因为点P(，)在椭圆上，故，可得于是，所以椭圆的离心率由(1)知，故(1k2)2k24，即5k422k2150，可得k25所以直线OQ的斜率3.【2013天津，文18】设椭圆(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值【答案】（）；（）【解析】解：(1)设F(c,0)，由，知.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有，解得，于是，解得b，又a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆的方程为.因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k2.由已知得8，解得k.4.【2014天津，文18】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A，上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M，=.求椭圆的方程.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：(1)求椭圆离心率，就是列出关于a,b,c的一个等量关系. 由，可得，又，则所以椭圆离心率为(2) 由(1)知所以求椭圆方程只需再确定一个独立条件即可.由切线长=可列出所需的等量关系.先确定圆心：设，由，有由已知，有即，故有，因为点P在椭圆上，故，消可得，而点P不是椭圆的顶点，故，即点P的坐标为设圆的圆心为，则再由得，即所以所求椭圆的方程为考点：椭圆离心率，椭圆方程三拔高题组1.【2005天津，文22】抛物线的方程为，过抛物线上的一点作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点（三点互不相同），且满足（I）求抛物线的焦点坐标和准线方程；（II）设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上；（III）当时，若点的坐标为（1，1），求为钝角时点的纵坐标的取值范围【答案】（）详见解析，（）详见解析，（）详见解析.【解析】证明：（I）由于函数定义，对任意整数，有（II）证明：由函数的图象和函数的图象知，对于任意整数，在开区间（，）内方程只有一个根，当时，当时，而在区间（，）内，要么恒正，要么恒负因此时的符号与时的符号相反综合以上，得：的每一个根都是的极值点 由得，当时，即对于时， 综合 、 ：对于任意 ，由：和，得： 又：，但时， 综合 、 得：2.【2006天津，文22】如图，双曲线的离心率为、分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且（I）求双曲线的方程；（II）设和是轴上的两点。过点A作斜率不为0的直线使得交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E。证明直线DE垂直于轴。【答案】（I）（II）详见解析【解析】（I）解：根据题设条件，设点则、满足因解得，故利用得于是因此，所求双曲线方程为（II）解：设点则直线的方程为于是、两点坐标满足将代入得由已知，显然于是因为得同理，、两点坐标满足可解得所以，故直线DE垂直于轴3.【2007天津，文22】设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点到直线的距离为（）证明；（）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则【答案】（）详见解析；（）详见解析；（）由题设，原点到直线的距离为，即，将代入原式并化简得，即（）解法一：圆上的任意点处的切线方程为当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组的解当时，由式得代入式，得，即，于是，若，则所以，由，得在区间内此方程的解为当时，必有，同理求得在区间内的解为另一方面，当时，可推出，从而综上所述，使得所述命题成立4.【2008天津，文22】已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是（）求双曲线的方程；（）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围【答案】（I），（II）【解析】（）解：设双曲线的方程为，由题设得 解得所以双曲线的方程为（）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得此方程有两个不等实根，于是，且整理得 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，从而线段的垂直平分线的方程为此直线与轴，轴的交点坐标分别为，由题设可得整理得，将上式代入式得，整理得，解得或所以的取值范围是5.【2009天津，文22】已知椭圆(ab0)的两个焦点分别为F1(c,0)和F2(c,0)(c0),过点E(,0)的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1AF2B,|F1A|2|F2B|.(1)求椭圆的离心率;(2)求直线AB的斜率;(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m0)在AF1C的外接圆上,求的值.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力.满分14分.【答案】（）；（）；（）【解析】(1)解:由F1AF2B且|F1A|2|F2B|,得,从而.整理,得a23c2.故离心率.(2)解:由(1),得b2a2c22c2.所以椭圆的方程可写为2x2+3y26c2.设直线AB的方程为,即yk(x3c).由已知设A(x1,y1),B(x2,y2),则它们的坐标满足方程组消去y并整理,得(2+3k2)x218k2cx+27k2c26c20.依题意,48c2(13k2)0,得.而.由题设知,点B为线段AE的中点,所以x1+3c2x2.联立解得,.将