黑龙江省哈尔滨市呼兰一中、阿城二中、宾县三中、尚志五中四校2023-2024学年高二数学第一学期期末综合测试模拟试题注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知矩形 ，沿对角线将折起，若二面角的余弦值为，则与之间距离为（ ）A.B.C.D.2已知正四面体的底面的中心为为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.3已知角为第二象限角，则的值为（ ）A.B.C.D.4定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）A.函数在区间上单调递增B.函数在区间上单调递减C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极小值5在直三棱柱中，M，N分别是，的中点，则AN与BM所成角的余弦值为（）A.B.C.D.6方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A.B.C.或D.7已知直线和互相平行，则实数（ ）A.B.C.或D.或8抛物线y2=4x的焦点坐标是A.（0,2）B.（0,1）C.（2,0）D.（1,0）9等比数列，成公差不为0的等差数列，则数列的前10项和（ ）A.B.C.D.10若a，b，c为实数，且，则以下不等式成立的是（）A.B.C.D.11若数列满足，则（ ）A.B.C.D.12空间直角坐标系中，已知则点关于平面的对称点的坐标为（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13空间直角坐标系中，点，的坐标分别为，则_.14直线的倾斜角的大小是_.15某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用（万元）有下表的统计资料：23456223.85.56.57.0根据上表可得回归直线方程，则=_.16设等差数列，前项和分别为，若对任意自然数都有，则的值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，设，求数列的前n项和.18（12分）设数列的前项和为，已知，且.（1）证明：数列为等比数列；（2）若，是否存在正整数，使得对任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，说明理由.19（12分）已知点，.（1）求以为直径的圆的方程；（2）若直线被圆截得的弦长为，求值20（12分）在复数集C内方程有六个根分别为（1）解出这六个根；（2）在复平面内，这六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F；求多边形ABCDEF的面积21（12分）在数列中，点在直线上.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，且，求数列的前项和.22（10分）已知圆.（1）若不过原点的直线与圆相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）求与圆和直线都相切的最小圆的方程.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】过点在平面内作，过点在平面内作，以、为邻边作平行四边形，连接，分析可知二面角的平面角为，利用余弦定理求出，证明出，再利用勾股定理可求得的长.【详解】过点在平面内作，过点在平面内作，以、为邻边作平行四边形，连接，因为，则，因为，由等面积法可得，同理可得，由勾股定理可得，同理可得，因为四边形为平行四边形，且，故四边形为矩形，所以，因为，所以，二面角的平面角为，在中，由余弦定理可得，则，因为，平面，平面，则，由勾股定理可得.故选：C.2、B【解析】连接，再取中点，连接，得到为直线与所成角，再解三角形即可.【详解】连接，再取中点，连接，因为分别为VC，中点，则，且底面,所以为直线与所成角，令正四面体边长为1，则，,，所以，故选：.3、C【解析】由同角三角函数关系可得，进而直接利用两角和的余弦展开求解即可.【详解】，是第二象限角，.故选：C.4、C【解析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断、的结论【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；根据函数的导数图象，函数在时，故函数在区间上单调递减，故正确；由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，故函数处取得极小值，故正确，故选：5、D【解析】构建空间直角坐标系，根据已知条件求AN与BM对应的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求AN与BM所成角的余弦值.【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，所以AN与BM所成角的余弦值为.故选：D6、D【解析】根据曲线为焦点在y轴上的椭圆可得出答案.【详解】因为方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，所以，解得.故选：D.7、C【解析】根据题意，结合两直线的平行，得到且，即可求解.【详解】由题意，直线和互相平行，可得且，即且，解得或.故选：C.8、D【解析】的焦点坐标为，故选D.【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题考查抛物线的定义解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握9、C【解析】先设等比数列的公比为，结合条件可知，由等差中项可知，利用等比数列的通项公式进行化简求出，最后利用分组求和法，以及等比数列、等差数列的求和公式，即可求出数列的前10项和.【详解】设等比数列的公比为，成公差不为0的等差数列，则，都不相等，且，即，解得：或（舍去），所以数列的前10项和：.故选：C.10、C【解析】利用不等式的性质直接推导和取值验证相结合可解.【详解】取可排除ABD；由不等式的性质易得C正确.故选：C11、C【解析】利用前项积与通项的关系可求得结果.【详解】由已知可得.故选：C.12、D【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得答案.【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于平面的对称点的坐标为，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用空间直角坐标系中两点间的距离公式计算即得.【详解】在空间直角坐标系中，因点，的坐标分别为，所以.故答案为：14、【解析】由题意，即，考点：直线的倾斜角.15、08#【解析】根据表格中的数据求出，将点代入回归直线求出即可.【详解】由表格可得，由于回归直线过点，故，解得，故答案为：0.08.16、【解析】由等差数列的性质可得：再利用已知即可得出【详解】由等差数列的性质可得：对于任意的都有，则故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1） （2）.【解析】(1)由数列的前n项和与通项公式之间的关系即可完成.(2)由错位相减法即可解决此类“差比”数列的求和.【小问1详解】由，得当时，上下两式相减得，又当时，满足上式，所以数列的通项公式；【小问2详解】由（1）可知，所以，则，上下两式相减得，所以.18、（1）证明见解析 （2）【解析】（1）由已知条件有，根据等比数列的定义即可证明；（2）由（1）求出及，进而可得，利用二次函数的性质即可求解的最小值，从而可得答案.【小问1详解】证明：因为，所以，又因为，所以，所以数列是首项为2公比为2的等比数列；【小问2详解】解：由（1）知，所以，所以，检验时也满足上式，所以,所以，令，所以，故当即时，取得最小值， 所以.19、 (1) .(2)或【解析】（1）根据题意，有A、B的坐标可得线段AB的中点即C的坐标，求出AB的长即可得圆C的半径，由圆的标准方程即可得答案；（2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得点C到直线xmy+10的距离d，结合点到直线的距离公式可得，解可得m的值，即可得答案【详解】（1）根据题意，点，则线段的中点为，即的坐标为；圆是以线段为直径的圆，则其半径，圆的方程为.（2）根据题意，若直线被圆截得的弦长为，则点到直线的距离，又由，则有，变形可得：，解可得或【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及弦长的计算，涉及圆的标准方程，属于基础题20、（1）（2）【解析】（1）原式可因式分解为，令，设可求解出的两个虚根，同理可求解的两个虚根，即得解；（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可【小问1详解】由题意，当时，设故，所以解得：，即当时，设故所以解得：，即故：【小问2详解】六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F，其中在复平面中描出这六个点如图所示：六个点构成的图形为正六边形，边长为1故21、（1） （2）【解析】（1）由定义证明数列是等差数列，再由得出通项公式；（2）先由求和公式得出，再由裂项相消求和法求和即可.【小问1详解】由题意可知，所以数列是公差的等差数列又，所以，故小问2详解】，则故22、（1）或；（2）.【解析】（1）根据题意设出直线的方程，然后根据直线与圆相切，即可求出答案；（2）首先根据题意判断出最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为，然后设出最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，从而可求出答案.【小问1详解】因为直线不过原点，设直线的方程为，圆的标准方程为，若直线与圆相切，则，即，解得或者3，所以直线的方程为或者；【小问2详解】因为，所以直线与圆相离，所以所求最小圆的圆心一定在圆的圆心到直线的垂线段上，即最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为，设最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，所以，即，解得(舍)或， 所以最小的圆的方程为.