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榆林市20232024年度高三第一次模拟检测数学试题(理科)考生注意:1.本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第I卷一选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设,则( )A. B. C. D. 2. 设集合,则( )A. B. C. D. 3. 已知直线是双曲线的一条渐近线,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 4. 在等比数列中,则( )A. B. C. 16D. 85. 某圆锥的侧面积为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )A. 2B. 4C. D. 6. 执行如图所示的程序框图,输出的( )A. 18B. 22C. 25D. 7 已知,则( )A. B. C. D. 8. 已知为奇函数,则( )A. B. 14C. D. 79. 如图,设抛物线的焦点为,不经过焦点的直线上有三个不同的点,其中点在该抛物线上,点在轴上,若,则( )A. B. C. D. 310. 下图是由两个边长不相等的正方形构成的,在整个图形中随机取一点,此点取自的概率分别记为,则( )A. B. C. D. 11. 已知是球的直径上一点,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,为上的一点,且,过点作球的截面,则所得的截面面积最小的圆的半径为( )A. B. C. D. 12. 已知函数在上单调递增,则的取值范围是( )A. B. C. D. 第II卷二填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 已知向量满足,则_.14. 若满足约束条件,则目标函数的最大值为_.15. 已知函数.若存在,使不等式成立,则的取值范围是_.16. 某网店统计了商品近30天的日销售量,日销售量依次构成数列,已知,且,则商品近30天的总销量为_.三解答题:共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. 在三棱锥中,.(1)证明:.(2)若,平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.18. 的内角的对边分别为,已知的周长为.(1)求的值;(2)求的最大值.19. 某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取份作为样本,将个样本数据按、分成组,并整理得到如下频率分布直方图.(1)请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)以样本频率估计概率,若竞赛成绩不低于分,则被认定为成绩合格,低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人,用表示成绩合格的人数,求的分布列及数学期望.20. 已知椭圆经过两点.(1)求方程;(2)斜率不为0的直线与椭圆交于两点,且点A不在上,过点作轴的垂线,交直线于点,与椭圆的另一个交点为,记的面积为,的面积为,求.21. 已知函数.(1)求极值;(2)已知,证明:.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中,曲线和参数方程分别为(为参数),(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线和的极坐标方程;(2)已知直线,且与曲线相交于、两点,与曲线相交于、两点,则当取得最大值时,求的值.选修4-5:不等式选讲23. 已知函数.(1)求不等式解集;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.榆林市20232024年度高三第一次模拟检测数学试题(理科)考生注意:1.本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第I卷一选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则,准确计算,即可求解.【详解】由复数,所以.故选:B.2. 设集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式化简集合B,再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意,或,而,所以.故选:D3. 已知直线是双曲线的一条渐近线,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据渐近线方程得到,再代入离心率公式即可.【详解】由题意可知,所以.故选:D.4. 在等比数列中,则( )A. B. C. 16D. 8【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的通项公式及性质求解即可.【详解】设等比数列的公比为,则,即,由,可得,即,所以.故选:A5. 某圆锥的侧面积为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )A. 2B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】设圆锥母线长为,底面半径为,由题意得到求解.【详解】解:设圆锥的母线长为,底面半径为,即侧面展开图的半径为,侧面展开图的弧长为.又圆锥底面周长为,所以,即圆锥的母线长.所以圆锥的侧面积为,解得.故选:D6. 执行如图所示的程序框图,输出的( )A. 18B. 22C. 25D. 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的功能,一一循环验证即可.【详解】解:执行该程序框图,成立,成立,成立,不满足,输出.故选:C7. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较大小可得答案.【详解】因为,所以,因为,所以,故.故选:D.8. 已知为奇函数,则( )A. B. 14C. D. 7【答案】C【解析】【分析】根据奇函数定义得到,进而求值.【详解】因为为奇函数, 所以,即,所以,所以.故选:C9. 如图,设抛物线的焦点为,不经过焦点的直线上有三个不同的点,其中点在该抛物线上,点在轴上,若,则( )A. B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】根据抛物线定义可求出,根据三角形相似即可求出.【详解】设,,由,根据抛物线定义可得,故,过,分别作轴的垂线,过作轴的垂线,垂足为,明显,所以.故选:D10. 下图是由两个边长不相等的正方形构成的,在整个图形中随机取一点,此点取自的概率分别记为,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用几何概型公式求得的值,进而得到三者之间的关系.【详解】设,从而,因为,所以,根据面积型几何概型的概率公式,可以得到,则故选:A.11. 已知是球的直径上一点,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,为上的一点,且,过点作球的截面,则所得的截面面积最小的圆的半径为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设截得的截面圆的半径为,球的半径为,由平面几何知识得截面与球心的距离为,利用勾股定理求得的值,由题意可知球心到所求截面的距离最大时截面面积最小,利用面积公式,即可得答案.【详解】如图,设截得的截面圆的半径为,球的半径为,因为,所以.由勾股定理,得,由题意得,所以,解得,此时过点作球的截面,若要所得的截面面积最小,只需所求截面圆的半径最小.设球心到所求截面的距离为,所求截面的半径为,则,所以只需球心到所求截面的距离最大即可,而当且仅当与所求截面垂直时,球心到所求截面的距离最大,即,所以.故选:C12. 已知函数在上单调递增,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分情况讨论,当时直接代入可得函数递减;当时,求导,构造函数,再由得到抽象函数,求出,最后再讨论时的情况,综合得出结果.【详解】当时,函数在上单调递减,不符合题意,所以,由题可知恒成立,即.令,则,所以在上单调递增,由,可得,即,所以,所以,当时,不符合题意,故的取值范围是.故选:B第II卷二填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 已知向量满足,则_.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积运算法则求出答案.【详解】因为,所以,故.故答案为:14. 若满足约束条件,则目标函数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】作出约束条件的可行域,利用几何意义即可求得目标函数的最大值.【详解】画出约束条件的可行域,由,可得,由,可得,当目标函数经过时,当目标函数经过时,故目标函数的最大值为.故答案为:15. 已知函数.若存在,使不等式成立,则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据的范围求出范围,可得的值域,可得答案.【详解】当时,则,所以,因此在上的值域为,若存在,使不等式成立,则,所以的取值范围是.故答案为:.16. 某网店统计了商品近30天的日销售量,日销售量依次构成数列,已知,且,则商品近30天的总销量为_.【答案】1020【解析】【分析】根据题目所给递推关系找到数列的规律,进而求和.【详解】当时,当时,中奇数项是公差为2,首项为20的等差数列,.商品近30天的总销量为.故答案为:.三解答题:共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. 在三棱锥中,.(1)证明:.(2)若,平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)取的中点,连接,由线面垂直判定定理证明平面,进而得到;(2)由平面平面,可证明平面,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明:取的中点,连接因为,所以,又因为平面,所以平面,因为平面,所以.【小问2详解】因为且平面平面,面,所以平面.以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,所以,设平面的法向量为,则,取,则,所以,直线与平面所成角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值为.18. 的内角的对边分别为,已知的周长为.(1)求的值;(2)求的最大值.【答案】(1)2 (2)【解析】【分析】(1)由题意结合数量积定义、余弦定
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