东华致远2023学年高三第一学期期中教学评估数学试卷考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1. 已知集合，则_.2. 若，则_3. 已知平面向量，的夹角为，若，则的值为_.4. 若第三象限角，且，则等于_.5 已知向量，且，则_.6. 在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_，_等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.7. 若直线与曲线相切，则的值为_.8. 已知等比数列的前项和为，若，则_.9. 设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为_.10. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，则球的体积为_.11. 已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .12. 已知函数，若关于的方程，有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是_二选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13. 已知，则（ ）A. B. C. D. 14. 某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：上市时间天41036市场价元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系（ ）A. B. C. D. ；15. 已知定义在R上奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 16. 如图，己知四棱锥的底面是直角梯形，平面，下列说法正确的是（ ）A. 与所成的角是B. 平面与平面所成的锐二面角余弦值是C. 与平面所成的角的正弦值是D. 线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为三简答题（共78分，14+14+14+18+18）17. 在数列中，其中为给定的正整数，的前项和为.（1）若等比数列，求；（2）若为等差数列，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18. 如图，三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，PAPBPC，且M，N分别为线段AB，PC的中点（1）若点K是线段PM的中点，求证：直线平面ABC；（2）求证：平面PCM平面ABC19. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求的大小；（2）若平分交于且，求面积的最小值.20. 在平面直角坐标系Oxy中，动圆P与圆内切，且与圆外切，记动圆P的圆心的轨迹为E（1）求轨迹E的方程；（2）不过圆心且与x轴垂直的直线交轨迹E于A，M两个不同的点，连接交轨迹E于点B（i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；（ii）若过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值21. 已知函数，（1）若，证明：；（2）若不等式恒成立，求正实数的值；（3）证明：东华致远2023学年第一学期期中教学评估高三数学 试卷考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1. 已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】对集合解一元二次不等式，取并集即可.【详解】，.2. 若，则_【答案】【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，再求出其模.【详解】因为，所以，所以.故答案为：3. 已知平面向量，的夹角为，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，由平面向量数量积运算律，代入计算，即可得到结果.【详解】由两边平方得，解得故答案为：4. 若是第三象限角，且，则等于_.【答案】【解析】【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出，再利用平方关系求出，进而求出.【详解】 ， ， 是第三象限角， ， .故答案为：.5. 已知向量，且，则_.【答案】【解析】【分析】先求得的坐标，再利用向量相等求解.【详解】解：因为，所以，又因为，所以解得故答案为：6. 在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_，_等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.【答案】 . 车长 . 车速【解析】分析】由题意求出一辆车通过该路段所需时间表达式，看表达式主要与哪些量有关即可.【详解】设式子路口的宽度、车长、车速为，则若车辆在内能够通过该式子路段，需要满足，因此在该段时间内，车辆通过的数量可能会受到车长、车速等因素的影响.故答案为：车长，车速.7. 若直线与曲线相切，则的值为_.【答案】【解析】【分析】设切点为，利用导数的几何意义结合条件即得.【详解】设切点为，则，所以，.故答案为：.8. 已知等比数列的前项和为，若，则_.【答案】32【解析】【分析】利用等比数列通项公式将化简，再利用等比数列前n项和性质将化为，两式联立解方程即可.【详解】设该数列的公比为q，则，解得，则.故答案为：32.9. 设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为_.【答案】或【解析】【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，求出A，B两点的坐标，再判断是否成立，当直线l的斜率存在时，设直线，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，弦和半径的关系列方程可求出，从而可求出直线方程【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，由，得或，此时，符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线，因为圆的圆心，半径，所以圆心C到直线l的距离.因为，所以，解得，所以直线l的方程为，即.综上，直线l的方程为或.故答案为：或10. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，则球的体积为_.【答案】【解析】【分析】根据正余弦定理可得的外接圆半径，然后根据球的性质结合条件可得球的半径，再利用球的体积公式即得.【详解】因为，所以，即，所以的外接圆半径为，在直三棱柱中，设球的半径为，则，因此球的体积为故答案为：.11. 已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】【详解】故答案为.12. 已知函数，若关于的方程，有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】首先利用导函数求的单调性，作出函数的大致图象，将方程解得问题转换成交点问题即可求解出答案【详解】解：因为，则，当或时，当时，所以在和上单调递减，在上单调递增，且当时，故的大致图像如图所示： 关于的方程等价于，即或，由图可得，方程有且仅有一解，则有两解，所以，解得，故答案为： 二选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据指数与对数互化，求出，再根据指数的运算，结合换底公式与基本不等式逐个选项判断即可.【详解】由题意，.对A，成立，故A正确；对B，不成立，故B错误；对C，成立，故C正确；对D，因为，故，当且仅当时取等号，但，故，成立，故D正确；故选：ACD14. 某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：上市时间天41036市场价元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系（ ）A. B. C. D. ；【答案】B【解析】【分析】由题意观察出随的变化趋势，对比函数单调性即可得解.【详解】随着时间的增加，的值先减后增，而三个函数中、显然都是单调函数，不满足题意，选择故选：B.15. 已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知得出函数的图象关于直线对称，这样得出函数在上是减函数，再由奇函数得出在上是增函数，利用奇函数得，从而得出，确定的值或范围后利用单调性可比较大小【详解】因为是定义在R上的奇函数且满足，所以的图象关于直线对称，在上是减函数，则在上是增函数，又是奇函数，所以在上是增函数，所以在上是增函数，在上是减函数，结合奇函数得，所以， ，所以，即，故选：C16. 如图，己知四棱锥的底面是直角梯形，平面，下列说法正确的是（ ）A. 与所成的角是B. 平面与平面所成的锐二面角余弦值是C. 与平面所成的角的正弦值是D. 是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为【答案】C【解析】【分析】根据题设建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线线角、线面角、面面角以及点到面的距离问题.【详解】 ， ， 平面， 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，对于A， ，且， ， 与所成的角是，故A错误；对于B，设平面的法向量为，则令，则，所以，显然平面的法向量为， ， 平面与平面所成的锐二面角余弦值是，故B错误.对于C，故C正确；对于D， 是线段上动点， 设， 为中点， ， ，当时，位于点，此时点到平面距离为,当时，设平面的法向量为，则令，则，所以， 点到平面距离，当，即时，此时， ， 点到平面距离的最大值为，故D错误.故选：C.三简答题（共78分，14+14+14+18+18）17. 在数列中，其中为给定的正整数，的前项和为.（1）若为等比数列，求；（2）若为等差数列，是否