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一、选择题:1. (2012年高考新课标全国卷文科7)如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( ) 2. (2012年高考新课标全国卷文科8)平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为,则此球的体积为 (A) (B)4 (C)4 (D)6【答案】B【解析】球半径,所以球的体积为,选B.3.(2012年高考全国卷文科8)已知正四棱柱中 ,为的中点,则直线与平面的距离为(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】连结交于点,连结,因为是中点,所以,且,所以,即直线 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离,过C做于,则即为所求距离.因为底面边长为2,高为,所以,所以利用等积法得,选D. 评析:A到面的距离转化为A关于O点的对称点C到面的距离,注意这种技巧。改编题:设AO中点为K,求K到平面的距离,思路求K到平面的距离是A到面的距离的一半,A到面的距离转为C到面的距离。4.(2012年高考天津卷文科10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积 .【答案】【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体,上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积为,五棱柱的体积是,所以几何体的总体积为。5.(2012年高考全国卷文科16)已知正方体中,、分别为的中点,那么异面直线与所成角的余弦值为_.【答案】【解析】如图连接,则,所以与所成的角即为异面直线所成的角,设边长为2,则,在三角形中.6.(2012年高考新课标全国卷文科19)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直底面,ACB=90,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点()证明:平面BDC1平面BDC()平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.CBADC1A17. (2011年高考新课标全国卷文科18)(本小题满分12分)如图,四棱锥中,底面为平行四边形。 底面 。(I)证明:(II)设,求棱锥的高。解:()因为, 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2,故BDAD又PD底面ABCD,可得BDPD所以BD平面PAD. 故PABD()过D作DEPB于E,由(I)知BCBD,又PD底面,所以BC平面PBD,而DE平面PBD,故DEBC,所以DE平面PBC由题设知PD=1,则BD=,PB=2,由DEPB=PDBD得DE=,即棱锥的高为评注:用到等面积变形,也可等体积变形求解。8 (2010年高考新课标全国卷文科18)(本小题满分12分)如图,已知四棱锥的底面为等腰梯形,,垂足为,是四棱锥的高。()证明:平面 平面;()若,60,求四棱锥的体积。18)解: (1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。 所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H. 所以AC平面PBD. 故平面PAC平面PBD. .6分 (2)因为ABCD为等腰梯形,ABCD,ACBD,AB=. 所以HA=HB=. 因为APB=ADB=600 所以PA=PB=,HD=HC=1. 可得PH=. 等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+. .9分 所以四棱锥的体积为V=x(2+)x= .12分9.(2009年海南、宁夏18)(本小题满分12分)如图,在三棱锥中,是等边三角形,PAC=PBC=90 ()证明:ABPC()若,且平面平面, 求三棱锥体积。(18)解:()因为是等边三角形,,所以,可得。如图,取中点,连结,则,所以平面,所以。 6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()作,垂足为,连结因为,所以,由已知,平面平面,故8分因为,所以都是等腰直角三角形。由已知,得, 的面积因为平面,所以三角锥的体积 12分评注:高考新课标全国卷09是较难的一年,10-11-12难度逐步降低的趋势;本题是一道一个椎体折分为两个椎体的一个范例。10.(2012年高考辽宁卷文科18)(本小题满分12分)如图,直三棱柱,AA=1,点分别为和的中点。 ()证明:平面; ()求三棱锥的体积。(椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积,h为高)【命题意图】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中。【解析】(1)(法一)连结,由已知三棱柱为直三棱柱,所以为中点.又因为为中点所以,又平面 平面,因此 6分(法二)取的中点为P,连结MP,NP,分别为和的中点, MP,NP,MP面,NP面, , 面MPN面,MN面, MN面.()(解法一)连结BN,由题意,面面=,面NBC, =1, .评注:一个椎体转化一个大椎体的一半,注意这种技巧。 (解法2)评注:一个椎体的体积转为总体积减去几个椎体的体积,达到间接求出的目的。【点评】第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行来证明;第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键,也可以采用割补发来球体积。11. (2012年高考陕西卷文科18)(本小题满分12分)直三棱柱ABC- A1B1C1中,AB=A A1 ,=学+科.+()证明; ()已知AB=2,BC=,求三棱锥的体积 12. (2012年高考江西卷文科19)(本小题满分12分)如图,在梯形ABCD中,ABCD,E,F是线段AB上的两点,且DEAB,CFAB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4.现将ADE,CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合与点G,得到多面体CDEFG.(1) 求证:平面DEG平面CFG;(2) 求多面体CDEFG的体积。【解析】13.( 2013届高三第三次大庆)20(本小题满分12分)已知三棱锥中,APPC,ACBC,为的中点,为的中点,且为正三角形()求证:平面;()若,求点到平面的距离。 20()证明:证明:如图4,PMB为正三角形,且D为PB的中点,MDPB又M为AB的中点,D为PB的中点,MD/AP,APPB又已知APPC,AP平面PBC,APBC,又ACBC,BC平面APC()解:记点B到平面MDC的距离为h,则有AB=10,MB=PB=5,又BC=3,又,在中,又,即点B到平面MDC的距离为。14.(本小题满分12分)如图,已知AB平面ACD,DEAB,ACD是正三角形,且F是CD的中点 ()求证AF平面BCE;()设AB1,求多面体ABCDE的体积19(本小题满分12分)P解:()取CE中点P,连结FP、BP, F为CD的中点,FP/DE,且FP 又AB/DE,且AB AB/FP,且ABFP, ABPF为平行四边形,AF/BP 4分 又AF 平面BCE,BP 平面BCE, AF/平面BCE 6分(II)直角梯形ABED的面积为,C到平面ABDE的距离为, 四棱锥CABDE的体积为即多面体ABCDE的体积为15(本题满分12分) 在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱A1A底面ABC,BACA,且AB=AC=AA1=2, D、E、F分别为AB1,CC1,BC中点 (l)求证:DE平面ABC; (2)求三棱锥B1AEF的体积16.(山西忻州市2013届高三上学期期末)18. (本小题满分12分) 如图,在四棱锥中,平面平面,是正三角形,已知 (1) 设是上的一点,求证:平面平面;(2) 求四棱锥的体积.17.(2013河北唐山19)(本小题满分12分) 如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形,侧面BB1C1C为菱形,CBB1=60,ABB1C。 (I)求证:平面AA1B1B平面BB1C1C; (II)若AB=2,求三棱柱ABCA1B1C1体积。(19)解:()由侧面AA1B1B为正方形,知ABBB1又ABB1C,BB1B1CB1,所以AB平面BB1C1C,又AB平面AA1B1B,所以平面AA1B1BBB1C1C4分BCB1OC1A1A()由题意,CBCB1,设O是BB1的中点,连结CO,则COBB1由()知,CO平面AB1B1A,且COBCAB 连结AB1,则VC-ABB1SABB1COAB2CO8分因VB1-ABCVC-ABB1VABC-A1B1C1,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积VABC-A1B1C1212分
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