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考点过关检测(三十六)1(2019临川模拟)设f(x)ax3xln x.(1)求函数g(x)的单调区间;(2)若x1,x2(0,),且x1x2,2,求实数a的取值范围解:(1)g(x)ax2ln x(x0),g(x)2ax(x0),当a0时,g(x)0,g(x)在(0,)上单调递增;当a0时,若x,则g(x)0;若x,则g(x)0,所以g(x)在上单调递增,在,上单调递减综上,当a0时,函数g(x)在(0,)上单调递增;当a0时,函数g(x)在上单调递增,在上单调递减(2)因为x1x20,不等式2恒成立,所以f(x1)f(x2)2x12x2,亦即f(x1)2x1f(x2)2x2恒成立,设F(x)f(x)2x,则F(x)在(0,)上为减函数,即F(x)0恒成立因为F(x)ax3xln x2x,则F(x)3ax2ln x10,即3a恒成立令h(x),则h(x),所以当x(0,e)时,h(x)0,h(x)在(0,e)上单调递减;当x(e,)时,h(x)0,h(x)在(e,)上单调递增,所以h(x)h(e),所以3a,即a,故实数a的取值范围是.2设函数f(x)ax2aln x,其中aR.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)e1x在区间(1,)内恒成立(e2.718为自然对数的底数)解:(1)由题意,f(x)2ax,x0,当a0时,2ax210,f(x)0,f(x)在(0,)上单调递减当a0时,f(x),当x时,f(x)0.故f(x)在上单调递减,在上单调递增综上所述,当a0时,f(x)在(0,)上单调递减;当a0时,f(x)在上单调递减,在,上单调递增(2)原不等式等价于f(x)e1x0在(1,)上恒成立一方面,令g(x)f(x)e1xax2ln xe1xa,只需g(x)在(1,)上恒大于0即可又g(1)0,故g(x)在x1处必大于等于0.令F(x)g(x)2axe1x,由g(1)0,可得a.另一方面,当a时,F(x)2ae1x1e1xe1x,因为x(1,),故x3x20.又e1x0,故F(x)在a时恒大于0.所以当a时,F(x)在(1,)上单调递增所以F(x)F(1)2a10,故g(x)也在(1,)上单调递增所以g(x)g(1)0,即g(x)在(1,)上恒大于0.综上所述,a.故实数a的取值范围为.3(2019南宁三模)已知函数f(x)ln x,g(x)ax(aR)(1)若函数yf(x)与yg(x)的图象无公共点,求实数a的取值范围;(2)求出实数m的取值范围,使得对任意的x,函数yf(x)的图象均在h(x)的图象的下方解:(1)由于当x(0,1)时,f(x)0,而g(0)0,所以函数yf(x)与yg(x)的图象无公共点,等价于f(x)g(x)恒成立,即a恒成立令(x)(x0),则(x),当x(0,e)时,(x)0;当x(e,)时,(x)0,所以(x)在(0,e)上单调递增,在(e,)上单调递减,所以(x)的最大值为(e),所以a,故实数a的取值范围为.(2)由题意得,不等式ln x在上恒成立,即mexxln x在上恒成立令F(x)exxln x,则F(x)exln x1,令u(x)F(x),则u(x)ex,易知u(x)在上单调递增,由于u20,u(1)e10,所以存在x0,使得u(x0)0,所以ex0,所以x0ln x0,所以F(x)在上单调递减,在(x0,)上单调递增,F(x)F(x0)ex0ln x01x0110,所以F(x)在上单调递增,故mln 2.所以实数m的取值范围为.4(2019泰安二模)已知函数f(x)x(a1)ln x(aR),g(x)x2exxex.(1)当x1,e时,求f(x)的最小值;(2)当a1时,若存在x1e,e2,使得对任意的x22,0,f(x1)g(x2)成立,求a的取值范围解:(1)f(x)的定义域为(0,),f(x).若a1,则x1,e时,f(x)0,f(x)在1,e上为增函数,所以f(x)minf(1)1a.若1ae,x1,a时,f(x)0,f(x)为减函数;xa,e时,f(x)0,f(x)为增函数所以f(x)minf(a)a(a1)ln a1.若ae,则x1,e时,f(x)0,f(x)在1,e上为减函数所以f(x)minf(e)e(a1).综上,当a1时,f(x)min1a;当1ae时,f(x)mina(a1)ln a1;当ae时,f(x)mine(a1).(2)由题意知f(x)(xe,e2)的最小值小于g(x)(x2,0)的最小值由(1)知当a1时,f(x)在e,e2上单调递增,f(x)minf(e)e(a1).g(x)(1ex)x.当x2,0时,g(x)0,g(x)为减函数,所以g(x)ming(0)1,所以e(a1)1,即a,所以a的取值范围为.
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