第四章 三角函数、解三角形第一节 弧度制及任意角的三角函数1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线小题体验1(教材习题改编)将表示成2k(kZ)的形式，则使|最小的值为_解析：(2)，.答案：2(教材习题改编)如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)为_解析：因为75，330，故集合为，即.答案：3(教材习题改编)若角同时满足sin 0且tan 0，则角的终边一定落在第_象限解析：由sin 0，可知的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合由tan 0，可知的终边可能位于第二象限或第四象限，所以的终边只能位于第四象限答案：四4已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为_答案：1.21注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况4三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos ，tan .小题纠偏1下列命题正确的是_小于90的角都是锐角；第一象限的角都是锐角；终边相同的角一定相等；95012是第二象限的角答案：2已知角的终边经过点P(，m)(m0)且sin m，则cos _，tan _.解析：由题意，得r，m.m0，m，故角是第二或第三象限角当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第二象限角，cos ，tan ；当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第三象限角，cos ，tan .答案：3若是第一象限角，则是第_象限角解析：是第一象限角，k360k36090，kZ，36036030，kZ.当k3n时，有n360n36030，kZ，为第一象限角当k3n1时，有n360120n360150，kZ，为第二象限角当k3n2时，有n360240n360270，kZ，为第三象限角综上可知，为第一、二、三象限角答案：一、二、三题组练透1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三角限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有_(填序号)解析：是第三象限角，故错误；，从而是第三象限角，故正确；40036040，从而正确；31536045，从而正确答案：2(易错题)若角是第二象限角，则是第_象限角解析：是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角答案：一、三3若角与终边相同，则在0,2内终边与角终边相同的角是_解析：由题意，得2k(kZ)，(kZ)又0,2，所以k可取的所有值为0,1,2,3，故可取的所有值为，.答案：，4在7200范围内所有与45终边相同的角为_解析：所有与45有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k0，则实数a的取值范围是_解析：cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.答案：(2,3方法归纳应用三角函数定义的3种求法(1)已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解(2)已知角的某三角函数值，可求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值(3)已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1若一扇形的圆心角为72，半径为20 cm，则扇形的面积为_cm2.解析：72，S扇形r220280(cm2)答案：802已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在第_象限解析：因为点P在第三象限，所以所以角的终边在第二象限答案：二3在与2 010终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为_解析：2 01012，与2 010终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为.答案：4(2016南京六校联考)点A(sin 2 015，cos 2 015)位于第_象限解析：因为sin 2 015sin(1118035)sin 350，cos 2 015cos(1118035)cos 350，所以点A(sin 2 015，cos 2 015)位于第三象限答案：三5(2016福州一模)设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan _.解析：因为是第二象限角，所以cos x0，即x0.又cos x.解得x3，所以tan .答案：二保高考，全练题型做到高考达标1将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是_解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.即为2.答案：2(2016宿迁模拟)已知角终边上一点P的坐标是(2sin 2，2cos 2)，则sin 等于_解析：因为r2，由任意三角函数的定义，得sin cos 2