9.2利用导数研究函数的单调性和极大(小)值考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.利用导数研究函数的单调性1.求解不等式2.研究函数基本性质B19题16分填空题解答题2.利用导数研究函数的极值和最值1.研究函数零点 2.研究函数基本性质B20题16分填空题解答题分析解读利用导数研究函数的单调性和极大(小)值是江苏高考必考内容,主要在压轴题位置,重点考查等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程思想,对分析问题的能力要求较高.五年高考考点一利用导数研究函数的单调性1.(2017山东文改编,10,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是.f(x)=2-x;f(x)=x2;f(x)=3-x;f(x)=cos x.答案2.(2016课标全国改编,12,5分)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-,+)单调递增,则a的取值范围是.答案3.(2017课标全国文,21,12分)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x0时, f(x)ax+1,求a的取值范围.解析(1)f (x)=(1-2x-x2)ex.令f (x)=0,得x=-1-或x=-1+.当x(-,-1-)时, f (x)0;当x(-1+,+)时, f (x)0.所以f(x)在(-,-1-),(-1+,+)上单调递减,在(-1-,-1+)上单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.当a1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex0),因此h(x)在0,+)上单调递减,而h(0)=1,故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.当0a0(x0),所以g(x)在0,+)上单调递增,而g(0)=0,故exx+1.当0x(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,则x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)ax0+1.当a0时,取x0=,则x0(0,1), f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1.综上,a的取值范围是1,+).4.(2017山东文,20,13分)已知函数f(x)=x3-ax2,aR.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3, f(3)处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析(1)由题意f (x)=x2-ax,所以当a=2时, f(3)=0, f (x)=x2-2x,所以f (3)=3,因此,曲线y=f(x)在点(3, f(3)处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,所以g(x)=f (x)+cos x-(x-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x),令h(x)=x-sin x,则h(x)=1-cos x0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x0时,h(x)0;当x0时,h(x)0.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x),当x(-,a)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(a,0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=a时,g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-a3-sin a,当x=0时,g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.当a=0时,g(x)=x(x-sin x),当x(-,+)时,g(x)0,g(x)单调递增;所以g(x)在(-,+)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x),当x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=0时,g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时,g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-a3-sin a.综上所述:当a0时,函数g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-a3-sin a.5.(2016课标全国,21,12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解析(1)f (x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(i)设a0,则当x(-,1)时, f (x)0.所以f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.(2分)(ii)设a-,则ln(-2a)0;当x(ln(-2a),1)时, f (x)0.所以f(x)在(-,ln(-2a),(1,+)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.(4分)若a1,故当x(-,1)(ln(-2a),+)时, f (x)0;当x(1,ln(-2a)时, f (x)0,则由(1)知, f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b0且b(b-2)+a(b-1)2=a0,所以f(x)有两个零点.(8分)(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点.(9分)(iii)设a0,若a-,则由(1)知, f(x)在(1,+)单调递增,又当x1时f(x)0,故f(x)不存在两个零点;(10分)若a-,则由(1)知, f(x)在(1,ln(-2a)单调递减,在(ln(-2a),+)单调递增,又当x1时f(x)0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.解析(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f (x)=3x2+2ax+b.因为f(0)=c, f (0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=bx+c.(3分)(2)当a=b=4时, f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f (x)=3x2+8x+4.令f (x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-.(4分)f(x)与f (x)在区间(-,+)上的情况如下:x(-,-2)-2-f (x)+0-0+f(x)cc-(6分)所以,当c0且c-0时,存在x1(-4,-2),x2,x3,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的单调性知,当且仅当c时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.(8分)(3)证明:当=4a2-12b0,x(-,+),此时函数f(x)在区间(-,+)上单调递增,所以 f(x)不可能有三个不同零点.(9分)当=4a2-12b=0时, f (x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0.当x(-,x0)时, f (x)0, f(x)在区间(-,x0)上单调递增;当x(x0,+)时, f (x)0, f(x)在区间(x0,+)上单调递增.所以f(x)不可能有三个不同零点.综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有=4a2-12b0.故a2-3b0是f(x)有三个不同零点的必要条件.(11分)当a=b=4,c=0时,a2-3b0, f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以a2-3b0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.(12分)因此a2-3b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.(13分)7.(2016课标全国理,21,12分)(1)讨论函数f(x)=ex的单调性,并证明当x0时,(x-2)ex+x+20;(2)证明:当a0,1)时,函数g(x)=(x0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.解析(1)f(x)的定义域为(-,-2)(-2,+).(2分)f (x)=0,且仅当x=0时, f (x)=0,所以f(x)在(-,-2),(-2,+)单调递增.因此当x(0,+)时, f(x)f(0)=-1.所以(x-2)ex-(x+2),(x-2)ex+x+20.(4分)(2)g(x)=(f(x)+a).(5分)由(1)知, f(x)+a单调递增.对任意a0,1), f(0)+a=a-10, f(2)+a=a0.因此,存在唯一xa(0,2,使得f(xa)+a=0,即g(xa)=0.(6分)当0xxa时, f(x)+a0,g(x)xa时, f(x)+a0,g(x)0,g(x)单调递增.(7分)因此g(x)在x=xa处取得最小值,最小值为g(xa)=.(8分)于是h(a)=,由=0,得y=单调递增.所以,由xa(0,2,得=h(a)=.(10分)因为y=单调递增,对任意,存在唯一的xa(0,2,a=-f(xa)0,1),使得h(a)=.所以