10化解抽象函数快捷有效的几个途径1设f(x)为偶函数，对于任意的x0，都有f(2x)2f(2x)，已知f(1)4，那么f(3)_.答案8解析f(x)为偶函数，f(1)f(1)4，f(3)f(3)，当x1时，f(21)(2)f(21)，f(3)(2)48，f(3)8.2对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的_条件答案必要不充分解析若函数yf(x)是奇函数，则f(x)f(x)此时|f(x)|f(x)|f(x)|，因此y|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y|f(x)|的图象关于y轴对称时，未必能推出yf(x)为奇函数，故“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的必要不充分条件3若f(x)为奇函数，且在(，0)内是增函数，又f(2)0，则xf(x)0的解集为_答案(2,0)(0,2)解析因为f(x)为奇函数，且f(2)0，所以f(2)0.作出f(x)大致图象，如图所示，由图象可知：当2x0，所以xf(x)0；当0x2时，f(x)0，所以xf(x)0.故不等式xf(x)0)，其图象如图所示，则方程f(g(x)0根的个数为_答案6解析由f(x)的图象可知方程f(x)0有三个根，分别设为x1，x2，x3，因为f(g(x)0，所以g(x)x1，g(x)x2或g(x)x3，因为ax1a0，cb0.(1)记集合M(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且ab，则(a，b，c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为_(2)若a，b，c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)x(，1)，f(x)0；xR，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；若ABC为钝角三角形，则x(1,2)，使f(x)0.答案(1)x|0a0，cb0，ab且a，b，c不能构成三角形的三边，02ac，2.令f(x)0得2axcx，即x2.xlog2.log21.0c.ca0，cb0，01,0cxcx0.x(，1)，f(x)0.故正确令a2，b3，c4，则a，b，c可以构成三角形但a24，b29，c216却不能构成三角形，故正确ca，cb，且ABC为钝角三角形，a2b2c20，f(2)a2b2c21时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)0，代入得f(1)f(x1)f(x2)0，故f(1)0.(2)任取x1、x2(0，)，且x1x2，则1.当x1时，f(x)0.f()0，即f(x1)f(x2)0，有f(x1)f(x2)，函数f(x)在区间(0，)上单调递减 (3)由f()f(x1)f(x2)，得f()f(9)f(3)而f(3)1，f(9)2.函数f(x)在区间(0，)上单调递减，原不等式为f(|x|)9，x9，不等式的解集为x|x912设集合Pn1,2，n，nN*，记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：APn；若xA，则2xA；若xPnA，则2xPnA.(1)求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示)解(1)当n4时，符合条件的集合A为：2，1,4，2,3，1,3,4，故f(4)4.(2)任取偶数xPn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m，于是xm2k，其中m为奇数，kN*.由条件知，若mA，则xAk为偶数；若mA，则xAk为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定设Qn是Pn中所有奇数的集合，因此f(n)等于Qn的子集个数当n为偶数(或奇数)时，Pn中奇数的个数是，所以f(n)