第19练三角函数化简与求值策略题型一利用同角三角函数基本关系式化简与求值例1已知tan 2，求：(1)的值；(2)3sin23sin cos 2cos2的值破题切入点本题是关于正、余弦的齐次式，一般是同时除以余弦的相应次数，构造出关于该角的正切关系式，然后将正切值代入求解解(1)方法一tan 2，cos 0，.方法二由tan 2，得sin 2cos ，代入得.(2)3sin23sin cos 2cos2.题型二利用诱导公式化简与求值例2(1)化简：；(2)求值：sin 690sin 150cos 930cos(570)tan 120tan 1 050.破题切入点(1)利用诱导公式化成只含有角的三角函数值，然后利用同角三角函数基本关系式求解(2)利用诱导公式将各值化成锐角的三角函数值代入计算解(1)方法一原式1.方法二原式1.(2)原式sin(72030)sin(18030)cos(1 080150)cos(720150)tan(18060)tan(1 08030)sin 30sin 30cos 150cos 150tan 60tan 301.题型三利用其他公式、代换等化简求值例3(1)已知是锐角，且，求角的值；(2)求值：tan 20tan 40tan 20tan 40.破题切入点(1)利用平方差公式将分子展开，然后再利用二倍角公式将等号左边化成关于角的某个三角函数，进而求出(2)逆用两角和的正切公式解(1)tan ，由已知可得tan .又是锐角，.(2)tan 20tan 40tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)tan 20tan 40tan 60tan 20tan 40tan 20tan 40.总结提高(1)三角函数的化简是指综合利用诱导公式、同角基本关系式、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式，将较复杂的三角函数式进行化简，三角函数的求值问题要始终围绕“角”做文章特殊角的相互转换，角的分解，角的合并等都在求值的过程中起着重要作用(2)在运用同角三角函数关系及诱导公式时，要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，在进行开方时要根据角的象限或范围判断符号(3)三角化简与求值是三角函数的基础，常用的方法有：弦切互化：主要利用公式tan x进行弦切间的互化和积转换法：如利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化巧用1或其他数值的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan 等注意求值与化简后的结果要尽可能有理化，整式化1若sin()，则cos _.答案解析由sin()，得sin ，即sin ，cos .2设tan ，tan 是方程x23x20的两根，则tan()的值为_答案3解析tan tan 3，tan tan 2，所以tan()3.3sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos(110x)的值为_答案解析sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos(110x)sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos(70x)sin(65x)cos(x20)cos(65x)sin(x20)sin(65xx20)sin 45.4 的值是_答案解析原式sin 30.5若0，0，cos，cos，则cos_.答案解析cos，0，sin.又cos，0，sin，coscoscoscossinsin.6(2014课标全国改编)设(0，)，(0，)，且tan ，则2_.答案解析由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin()(0，)，(0，)，(，)，(0，)，由sin()sin()，得，2.7已知tan 2，则的值为_答案解析tan .8.的值为_答案1解析原式1.9已知sin cos ，(0，)，则tan _.答案解析方法一因为sin cos ，(0，)，所以(sin cos )212sin cos ，所以sin cos .由根与系数的关系，知sin ，cos 是方程x2x0的两根，所以x1，x2.又sin cos 0，cos 0，sin cos 0.所以(，)，所以tan .10已知sin cos (0)，则sin cos 的值为_答案解析sin cos ，(sin cos )212cos sin ，2cos cos ，(sin cos )21，又(0，)，sin cos ，sin cos .11已知cos ，cos()，且0.(1)求tan 2的值；(2)求.解(1)由cos ，0，得sin .tan 4，于是tan 2.(2)由0，得0，又cos()，sin() .由()，得cos cos()cos cos()sin sin()，.12已知向量a(3sin ，cos )，b(2sin ，5sin 4cos )，(，2)，且ab.(1)求tan 的值；(2)求cos()的值解(1)ab，ab0.而a(3sin ，cos )，b(2sin ，5sin 4cos )，ab6sin25sin cos 4cos20，cos 0，6tan25tan 40.解得tan 或tan .(，2)，tan 0，tan .(2)(，2)，(，)由tan ，求得tan 或tan 2(舍去)sin ，cos ，cos()cos cos sin sin .