第21练解三角形问题题型一活用正、余弦定理求解三角形问题例1(1)(2013辽宁改编)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B_.(2)在ABC中，acos Abcos B，则ABC的形状为_破题切入点(1)先由正弦定理对已知三角关系式进行转化，然后利用三角恒等变换公式进行化简，可求得sin B的值，再结合ab的条件即可判断得出结果(2)可以先利用余弦定理将条件化为边的形式，再进行判断；或者先利用正弦定理将条件化为角的形式，再转化判断即可答案(1)(2)等腰三角形或直角三角形解析(1)由条件得sin Bcos Csin Bcos A，依正弦定理，得sin Acos Csin Ccos A，sin(AC)，从而sin B，又ab，且B(0，)，因此B.(2)方法一因为acos Abcos B，所以由余弦定理，得ab，即a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，所以(a2b2c2)(a2b2)0.所以a2b2c2或ab.所以ABC为等腰三角形或直角三角形方法二因为acos Abcos B，由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，所以sin 2Asin 2B.又A，B为ABC的内角，所以2A2B或2A2B，即AB或AB.所以ABC为等腰三角形或直角三角形题型二正、余弦定理在解决实际问题中的应用技巧例2(2013江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？破题切入点(1)在ABC中，已知两角及一边长，利用同角三角函数的基本关系式及三角形内角和求得第三个角，再由正弦定理即可求得AB的长；(2)设出在乙出发t min后甲、乙距离最短时所行走的距离，再利用余弦定理即可求得结果；(3)在ABC中，利用正弦定理求得BC的长，再分别计算出甲、乙到达C点的时间，然后由甲、乙在C处相互等待不超过3 min为条件列出不等式计算即可求得解(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内题型三解三角形中相关交汇性问题例3已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m(sin B,1cos B)与向量n(2,0)的夹角的余弦值为.(1)求角B的大小；(2)若b，求ac的范围破题切入点(1)根据向量的数量积求两向量的夹角，然后利用同角三角函数关系式及二倍角公式进行恒等变形即可解决问题；(2)消元后，利用两角和的正弦公式把sin Asin C化为sin(A)，并求出sin(A)的取值范围，再根据正弦定理，求出ac的范围，也可以利用余弦定理结合基本不等式求出ac的范围解(1)因为m(sin B,1cos B)，n(2,0)，所以mn2sin B.又|m| 2|sin |，因为0B，00，因为|m|2sin .而|n|2，所以cos cos ，即cos .由0B，得，所以B.(2)方法一由B，得AC.所以sin Asin Csin Asin(A)sin A(sin cos Acos sin A)sin Acos Asin(A)又0A，所以A.所以b，所以ac2，即ac(，2总结提高(1)在根据正、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解，已知大角求小角有一解；在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号防止增解等扩大范围的现象(2)在求解三角形的实际问题时，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、仰角、俯角等，其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用，再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识，建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答1(2013陕西改编)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为_三角形答案直角解析由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，所以sin A1，由0A，得A，所以ABC为直角三角形2(2014课标全国改编)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC_.答案解析SABBCsin B1sin B，sin B，B或.当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意故AC.3(2014江西改编)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是_答案解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C6.4在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC_.答案解析设CD为AB边上的高，则由题设知BDCD，AD，AC ，sinBACsin(BAC).5若ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为_答案解析a2b22abc24，cos C，ab.6在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C2A，cos A，b5，则ABC的面积为_答案解析cos A，cos C2cos2A1，sin C，tan C3，如图，设AD3x，AB4x，CD53x，BDx.在RtDBC中，tan C3，解之得：BDx，SABCBDAC.7在ABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，C，c，则的值为_答案4解析由正弦定理，得a2sin A.所以4.8在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2，B且sin 2Asin(AC)sin B，则ABC的面积为_答案解析sin 2Asin Bsin(AC)，2sin Acos Asin(AC)sin(AC)，2sin Acos A2cos Asin C.ABC是锐角三角形，cos A0，sin Asin C，即ACB，SABC22.9设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，a，则b2c2的取值范围为_答案(3,6解析由正弦定理，得2，b2sin B，c2sin C，所以b2c24(sin2Bsin2C)2(1cos 2B1cos 2C)42cos 2B2cos 2(B)4sin 2Bcos 2B42sin(2B)又0B，所以2B.所以12sin(2B)2.所以3b2c26.10(2014课标全国)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_答案解析2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化为(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.cos A，A60.ABC中，4a2b2c22bccos 60b2c2bc2bcbcbc(当且仅当bc时取“”)，SABCbcsin A4.11.如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民此时，C地位于中国海监船的南偏东45方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的距离赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(1.41，1.73，2.45)