课时跟踪检测（四十四） 直线、平面垂直的判定及其性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快1在梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是_解析：因为ABCD，AB平面，CD平面，所以CD平面，所以CD与平面内的直线可能平行，也可能异面答案：平行或异面2.如图，在RtABC中，ABC90，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，则四面体P ABC中共有直角三角形个数为_解析：由PA平面ABC可得PAC，PAB是直角三角形，且PABC.又ABC90，所以ABC是直角三角形，且BC平面PAB，所以BCPB，即PBC为直角三角形，故四面体P ABC中共有4个直角三角形答案：43设a，b为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：若a且b，则ab；若a且a，则；若，则一定存在平面，使得，；若，则一定存在直线l，使得l，l.上面命题中，所有真命题的序号是_解析：中a与b可能相交或异面，故不正确垂直于同一直线的两平面平行，正确中存在，使得与，都垂直中只需直线l且l就可以答案：4.如图，PAO所在平面，AB是O的直径，C是O上一点，AEPC，AFPB，给出下列结论：AEBC；EFPB；AFBC；AE平面PBC，其中真命题的序号是_解析：AE平面PAC，BCAC，BCPAAEBC，故正确，AEPC，AEBC，PB平面PBCAEPB，AFPB，EF平面AEFEFPB，故正确，若AFBCAF平面PBC，则AFAE与已知矛盾，故错误，由可知正确答案：5如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，则直线AA1到平面BB1D1D的距离为_ cm.解析：连结AC交BD于点O，则AOBD.因为BB1平面ABCD，AO平面ABCD，所以BB1AO.又BB1BDB，所以AO平面BB1D1D.又AA1BB1，AA1平面BB1D1D，BB1平面BB1D1D，所以AA1平面BB1D1D，所以线段AO的长就是直线AA1到平面BB1D1D的距离因为ABAD3 cm，ABAD，AOBD，所以AO，即直线AA1到平面BB1D1D的距离为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1如图，边长为2的正方形ABCD在平面上的射影为四边形EFCD，且AB到平面的距离为，则AD与平面所成的角为_解析：易知ADE为AD与平面所成的角在RtAED中，AE，AD2，所以sinADE，所以ADE30.答案：302如图，BC是RtBAC的斜边，过A作ABC所在平面的垂线AP，连结PB，PC，过A作ADBC于点D，连结PD，那么图中直角三角形的个数是_解析：由线面垂直的判定与性质，可知直角三角形有ABC，ADC，ADB，PAB，PAD，PAC，PDB，PDC，共8个答案：83.(2016启东中学检测)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是DD1的中点，则下列结论正确的是_(填序号)线段A1M与B1C所在直线为异面直线；对角线BD1平面AB1C；平面AMC平面AB1C；直线A1M平面AB1C.解析：由异面直线的定义，可知正确；易证明BD1AB1，BD1AC，所以BD1平面AB1C，所以正确；连结BD交AC于点O，连结OM，可以证明OMBD1，所以OM平面AB1C，进而可得平面AMC平面AB1C，所以正确；由题意，得直线A1M与平面AB1C相交，所以不正确答案：4如图，已知三棱锥PABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中正确的是_(填序号)BC平面PDF；DF平面PAE；平面PDF平面ABC；平面PAE平面ABC.解析：由BCDF，得BC平面PDF，故正确；由BCAE，BCPE，得BC平面PAE，所以DF平面PAE，平面PAE平面ABC，故都正确易知不正确答案：5(2016上饶质检)已知m，n是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，现有以下说法：若，n，m，则mn；若m，m，n，则n；若mn，m，n，则；若m，n，则mn；若，m，n，则mn.其中正确说法的序号为_解析：对于，注意到分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行，可能是异面直线，因此不正确；对于，由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知，平行；由定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面”得知，n，因此正确；对于，由定理“由空间一点向一个二面角的两个半平面分别引垂线，则这两条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得知，正确；对于，分别平行两个垂直平面的两条直线未必垂直，因此不正确；对于，m与n有可能平行，因此不正确综上所述，其中正确的说法有.答案：6(2016常州期末)给出下列四个命题：“直线a直线b”的必要不充分条件是“a平行于b所在的平面”；“直线l平面”的充要条件是“l垂直于平面内的无数条直线”；“平面平面”是“内有无数条直线平行于平面”的充分不必要条件；“平面平面”的充分条件是“有一条与平行的直线l垂直于”上述命题中，所有真命题的序号为_解析：是既不充分也不必要条件；是充分不必要条件，即“直线l平面”可得“l垂直于平面内的无数条直线”，反之不成立；正确答案：7.如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连结AC，BD，则ACBD，PA底面ABCD，PABD.又PAACA，BD平面PAC，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC)8.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为_解析：设B1Fx，因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知可以得A1B1，设RtAA1B1斜边AB1上的高为h，则DEh.又2h，所以h，DE.在RtDB1E中，B1E .由面积相等得 x，得x.即线段B1F的长为.答案：9.如图，几何体EFABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4，ADF90.(1)求证：ACFB；(2)求几何体EF ABCD的体积解：(1)证明：由题意得，ADDC，ADDF，且 DCDFD，AD平面CDEF，ADFC.四边形CDEF为正方形，DCFC，DCADD，FC平面ABCD，FCAC.又四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4，AC2，BC2，则有AC2BC2AB2，ACBC，又BCFCC，AC平面FCB，ACFB.(2)连结EC，过B作CD的垂线，垂足为N，易知BN平面CDEF，且BN2.VEF ABCDVE ABCDVB EFCS梯形ABCDDESEFCBN，几何体EF ABCD的体积为.10(2015陕西高考)如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解：(1)证明：在图1中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在图2中，BEA1O，BEOC，又A1OOCO，所以BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)可得A1OBE，所以A1O平面BCDE.即A1O是四棱锥A1BCDE的高由图1知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2，从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3.由a336，得a6.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016兰州质检)如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是_(写出所有正确说法的序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN平面DEC；不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAE；不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAB；在折起过程中，一定存在某个位置，使ECAD.解析：由已知，在未折叠的原梯形中，ABDE，BEAD，所以四边形ABED为平行四边形，所以BEAD，折叠后如图所示过点M作MPDE，交AE于点P，连结NP.因为M，N分别是AD，BE的中点，所以点P为AE的中点，故NPEC.又MPNPP，DECEE，所以平面MNP平面DEC，故MN平面DEC，正确；由已知，AEED，AEEC，所以AEMP，AENP，又MPNPP，所以AE平面MNP，又MN平面MNP，所以MNAE，正确；假设MNAB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE平面MNBA，AD平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，错误；当ECED时，ECAD.因为ECEA，ECED，EAEDE，所以EC平面AED，AD平面AED，所以ECAD，正确答案：2.如图所示，已知长方体ABCD A1B1C1D1，点O1为B1D1的中点(1)求证：AB1平面A1O1D.(2)若ABAA1，在线段BB1上是否存在点E使得A1CAE？若存在，求出；若不存在，说明理由解： (1)证明：如图(1)所示，连结AD1交A1D于点G，G为AD1的中点连结O1G.在AB1D1中，O1为B1D1的中点，O1GAB1.O1G平面A1O1D，且AB1平面A1O1D，AB1平面A