课时跟踪检测（四十九） 椭 圆一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知椭圆1上的一点P到椭圆一焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为_解析：a225，a5,2a10，即P到两焦点距离之和等于10，所以P到另一焦点的距离为1037.答案：72若椭圆C：1(ab0)经过点P(0，)，且椭圆的长轴长是焦距的两倍，则a_.解析：由椭圆C：1(ab0)经过点P(0，)，即b，又椭圆的长轴长是焦距的两倍即2a22ca2c，所以a2b2c2a24a2.答案：23已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C 的方程是_解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c1，ea2，b2a2c23，因此椭圆C的方程是1.答案：14椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，则ABF2的面积为_解析：依题意得|AB|，|F1F2|26，因此ABF2的面积等于|AB|F1F2|6.答案：5(2016海门实验中学检测)分别过椭圆C：1(ab0)的左右焦点F1，F2所作的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是_解析：设两直线交点为M，令|MF1|x，|MF2|y.由椭圆的定义可得xy2a，因为MF1MF2，所以x2y24c2，因为(xy)2x2y22xy2(x2y2)，当且仅当xya时取等号，即4a22(4c2)，所以ac，所以，即e，因为e1，所以eb0)上的一点，若PF1PF2，且|PF1|2|PF2|，则此椭圆的离心率为_解析：因为|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，所以|PF1|a，|PF2|a，因为PF1PF2，所以22(2c)2，所以e.答案：4椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于MF2，则椭圆的离心率为_解析：由题意可知在RtF1MF2中，斜边|F1F2|2c，F1F2M60，可得|MF2|c，|MF1|c，由椭圆的定义可得2a|MF2|MF1|(1)c，所以离心率e1.答案：15(2016南京名校联考)已知圆C1：x22cxy20，圆C2：x22cxy20，椭圆C：1(ab0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是_解析：圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，只需0.即椭圆离心率的取值范围是.答案：6若椭圆的方程为1，且此椭圆的焦距为4，则实数a_.解析：当焦点在x轴上时，10a(a2)22，解得a4.当焦点在y轴上时，a2(10a)22，解得a8.答案：4或87点P是椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_解析：由题意知，|PF1|PF2|10，|F1F2|6，SPF1F2(|PF1|PF2|F1F2|)1|F1F2|yP3yP8，所以yP.答案：8(2016盐城模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(2，0)，且长轴长与短轴长的比是2，则椭圆C的方程是_解析：设椭圆C的方程为1(ab0)由题意知解得a216，b212.所以椭圆C的方程为1.答案：19(2016镇江统考)已知x，y之间满足1(b0)(1)方程1(b0)表示的曲线经过一点，求b的值；(2)动点(x，y)在曲线1(b0)上变化，求x22y的最大值解：(1)由题意知1(b0)，所以b1.(2)根据1(b0)得x24，所以x22y42y24(byb)当b，即b4时，(x22y)max2b.当b，即0b0)的右焦点为F2(1,0)，点H在椭圆上(1)求椭圆的方程；(2)点M在圆x2y2b2上，且M在第一象限，过M作圆x2y2b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：PF2Q的周长是定值解：(1)设椭圆的左焦点为F1，根据已知，椭圆的左右焦点分别是F1(1,0)，F2(1,0)，c1，H在椭圆上，2a|HF1|HF2| 6，a3，b2，故椭圆的方程是1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则1，|PF2| ，0x1b0)过点P(3,1)，其左、右焦点分别为F1，F2，且6.(1)求椭圆E的方程；(2)若M，N是直线x5上的两个动点，且F1MF2N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由解：(1)设点F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0)(c0)，则(3c,1)，(3c,1)，故(3c)(3c)110c26，可得c4，所以2a|PF1|PF2|6，故a3，b2a2c218162，所以椭圆E的方程为1.(2)设M，N的坐标分别为(5，m)，(5，n)，则(9，m)，(1，n)，又，可得9mn0，即mn9，又圆C的圆心为，半径为，故圆C的方程为(x5)222，即(x5)2y2(mn)ymn0，也就是(x5)2y2(mn)y90.令y0，可得x8或2，故圆C必过定点(8,0)和(2,0)