课时跟踪检测（五十一） 抛 物 线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是_解析：由题意设抛物线的方程为y22ax(a0)，由于其过点P(2,4)，所以422a2a4，故该抛物线的方程是y28x.答案：y28x2设抛物线y212x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是_解析：依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x3的距离，即等于314.答案：43抛物线y2x2的焦点坐标是_解析：抛物线的标准方程为x2y，所以焦点坐标是.答案：4已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|BF|5，则线段AB的中点到y轴的距离为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|BF|5，即x1x25，解得x1x2，所以线段AB的中点到y轴的距离.答案：5(2016镇江调研)过抛物线y24x的焦点作倾斜角为45的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：由题意知，抛物线焦点为(1,0)，直线l的方程为yx1，与抛物线方程联立，得消去x，得y24y40，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1y24，y1y24，两交点纵坐标差的绝对值为4，从而OAB的面积为2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1(2016扬州期末)若抛物线y22px(p0)的焦点也是双曲线x2y28的一个焦点，则p_.解析：抛物线y22px的焦点为，双曲线x2y28的右焦点为(4,0)，故4，即p8.答案：82(2016连云港调研)若抛物线y22x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则MFO的面积为_解析：由题意知，抛物线准线方程为x.设M(a，b)，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为，所以a1，代入抛物线方程y22x，解得b，所以SMFO.答案：3在y2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是_解析：如图所示，直线l为抛物线y2x2的准线，F为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，所以|AP|PF|AP|PN|AN1|3，当且仅当A，P，N三点共线时取等号，此时点P的坐标是(1,2)答案：(1,2)4已知抛物线y22x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23，利用抛物线的定义可知，|AF|BF|x1x214，由图可知|AF|BF|AB|AB|4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.答案：45(2016扬州调研)过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为120的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于_解析：记抛物线y22px的准线为l，如图，作AA1l，BB1l，ACBB1，垂足分别是A1，B1，C，则有cosABB1，即cos 60，由此得.答案：6设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|_.解析：如图，由直线AF的斜率为，得AFH60，FAH30，所以PAF60.又由抛物线的定义知|PA|PF|，所以PAF为等边三角形，由|HF|4得|AF|8，所以|PF|8.答案：87已知两点A(1,0)，B(b,0)如果抛物线y24x上存在点C，使得ABC为等边三角形，那么实数b_.解析：依题意，线段AB的垂直平分线x(b1)与抛物线y24x的交点C满足|CA|AB|b1|(其中n22(b1)，于是有2n2(b1)2，即22(b1)(b1)2，化简得3b214b50，即(3b1)(b5)0，解得b5或b.答案：5或8设抛物线C：y22px(p0)，A为抛物线上一点(A不同于原点O)，过焦点F作直线平行于OA，交抛物线于P，Q两点若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|FQ|OA|OB|_.解析：设OA所在的直线的斜率为k，则由得A，易知B，P，Q的坐标由方程组得到，消去x得，y0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得，y1y2p2，根据弦长公式，|FP|FQ| |y1| |y2|y1y2|p2，而|OA|OB| p2，|FP|FQ|OA|OB|0.答案：09已知抛物线C：x24y的焦点为F，过点K(0，1)的直线l与C相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为D.证明：点F在直线BD上证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，l的方程为ykx1，由得x24kx40，从而x1x24k，x1x24.直线BD的方程为yy1(xx1)，即y(xx1)，令x0，得y1，所以点F在直线BD上10在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设直线l：xty1，代入抛物线y24x，消去x得y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，所以x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)证明：设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b，所以x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，所以b24b40，所以b2.所以直线l过定点(2,0)所以若4，则直线l必过一定点(2,0)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1设F为抛物线y26x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点若0，则| |_.解析：由题意得抛物线的焦点为F，准线方程为x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，0，点F是ABC的重心，x1x2x3.由抛物线的定义可得|FA|x1x1，|FB|x2x2，|FC|x3x3，|x1x2x39.答案：92(2016泰州模拟)对于抛物线y24x上任意一点Q，点P(a，0)满足|PQ|a|，则a的取值范围是_解析：设点Q的坐标为，由|PQ|a|，得y2a2，整理得y(y168a)0，因为y0，所以y168a0，即a2恒成立而2的最小值为2，所以a2.答案：(，23如图，已知抛物线C：x22py(p0)，其焦点F到准线的距离为2，A，B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，且点A位于第一象限(1)求抛物线C的方程及A，B的坐标；(2)若点Q(x0，y0)是抛物线C异于A，B的一动点，分别以点A，B，Q为切点作抛物线C的三条切线l1，l2，l3，若l1与l2，l1与l3，l2与l3分别相交于D，E，H，设ABQ，DEH的面积依次为SABQ，SDEH，记，问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由解：(1)因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以p2，所以所求抛物线的方程为C：x24y.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|y112，即y11，同理y21，代入抛物线方程可得A(2,1)，B(2,1)(2)由(1)知yx2，yx，l1：yx1，l2：yx1，l3：yx0xx.D(0，1)，E，H，EH，点D到直线l3的距离d1，设点Q到直线AB的距离为d2，则SABQABd2，SDEHEHd1，2(定值)