21解三角形问题1(2013陕西改编)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为_三角形答案直角解析由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，所以sin A1，由0A，得A，所以ABC为直角三角形2(2014课标全国改编)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC_.答案解析SABBCsin B1sin B，sin B，B或.当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意故AC.3(2014江西改编)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是_答案解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C6.4在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC_.答案解析设CD为AB边上的高，则由题设知BDCD，AD，AC ，sinBACsin(BAC).5若ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为_答案解析a2b22abc24，cos C，ab.6在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C2A，cos A，b5，则ABC的面积为_答案解析cos A，cos C2cos2A1，sin C，tan C3，如图，设AD3x，AB4x，CD53x，BDx.在RtDBC中，tan C3，解之得：BDx，SABCBDAC.7在ABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，C，c，则的值为_答案4解析由正弦定理，得a2sin A.所以4.8在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2，B且sin 2Asin(AC)sin B，则ABC的面积为_答案解析sin 2Asin Bsin(AC)，2sin Acos Asin(AC)sin(AC)，2sin Acos A2cos Asin C.ABC是锐角三角形，cos A0，sin Asin C，即ACB，SABC22.9设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，a，则b2c2的取值范围为_答案(3,6解析由正弦定理，得2，b2sin B，c2sin C，所以b2c24(sin2Bsin2C)2(1cos 2B1cos 2C)42cos 2B2cos 2(B)4sin 2Bcos 2B42sin(2B)又0B，所以2B.所以12sin(2B)2.所以3b2c26.10(2014课标全国)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_答案解析2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化为(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.cos A，A60.ABC中，4a2b2c22bccos 60b2c2bc2bcbcbc(当且仅当bc时取“”)，SABCbcsin A4.11.如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民此时，C地位于中国海监船的南偏东45方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的距离赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(1.41，1.73，2.45)解如图，过点A作ADBC，交BC的延长线于点D.因为CAD45，AC10海里，所以ACD是等腰直角三角形所以ADCDAC105(海里)在RtABD中，因为DAB60，所以BDADtan 6055(海里)所以BCBDCD(55)海里因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，所以中国海监船到达C点所用的时间t1(小时)，某国军舰到达C点所用的时间t20.4(小时)因为0.4，所以中国海监船能及时赶到12在ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m(cos A，sin A)，n(cos A，sin A)，且m与n的夹角为.(1)求mn的值及角A的大小；(2)若a，c，求ABC的面积S.解(1)因为|m|1，|n|1，所以mn|m|n|cos .因为mncos2Asin2Acos 2A，所以cos 2A.因为0A，02A，所以2A，A.(2)因为a，c，A，及a2b2c22bccos A，所以7b233b，即b23b40，解得b1(舍去)或b4.所以Sbcsin A4sin .