第14练高考对于导数几何意义的必会题型题型一直接求切线或切线斜率问题例1已知f(x)x3f()x2x，则f(x)的图象在点(，f()处的切线斜率是_破题切入点先对函数求导，将x代入求得f()的值即是答案1解析f(x)3x22f()x1，令x，可得f()3()22f()1，解得f()1，所以f(x)的图象在点(，f()处的切线斜率是1.题型二转化为切线问题例2设点P在曲线yex上，点Q在曲线yln(2x)上，则PQ的最小值为_破题切入点结合图形，将求PQ的最小值转化为函数切线问题答案(1ln 2)解析由题意知函数yex与yln(2x)互为反函数，其图象关于直线yx对称，两曲线上点之间的最小距离就是yx与yex上点的最小距离的2倍设yex上点(x0，y0)处的切线与直线yx平行则ex01，x0ln 2，y01，点(x0，y0)到yx的距离为(1ln 2)，则PQ的最小值为(1ln 2)2(1ln 2)题型三综合性问题例3(2013课标全国)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值破题切入点先利用导数的几何意义和已知的切线方程列出关于a，b的方程组，求出a，b的值；然后确定函数f(x)的解析式，求出其导函数，利用导函数的符号判断函数f(x)的单调性，进而确定极值解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4，yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为y4x4，f(0)ab44，f(0)b4，a4，b4.(2)由(1)知f(x)4ex(x2)2(x2)2(x2)(2ex1)，令f(x)0得x12，x2ln ，列表：x(，2)2ln f(x)00f(x)极大值极小值yf(x)的单调增区间为(，2)，；单调减区间为.f(x)极大值f(2)44e2.总结提高(1)熟练掌握导数的几何意义，审准题目，求出导数，有时需要设切点，然后根据直线的点斜式形式写出切线方程(2)一般两曲线上点的距离的最小值或一曲线上点到一直线上点的距离的最小值的求法都是转化为求曲线的切线，找出平行线然后求出最小值(3)已知切线方程求参数的值或范围时要验证1已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_答案2解析设直线yx1切曲线yln(xa)于点(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)，又y，y|xx01，即x0a1.又y0ln(x0a)，从而y00，x01，a2.2(2014课标全国改编)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a_.答案3解析令f(x)axln(x1)，则f(x)a.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f(0)a1.又切线方程为y2x，则有a12，a3.3曲线y在点(1，1)处的切线方程为_答案2xy10解析易知点(1，1)在曲线上，且y，所以切线斜率ky|x12.由点斜式得切线方程为y12(x1)，即2xy10.4曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1垂直，则实数a的值为_答案2解析依题意得y1ln x，y|xe1ln e2，所以21，a2.5(2014大纲全国改编)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于_答案2解析yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y|x12.6已知函数f(x)x33x，若过点A(0，16)且与曲线yf(x)相切的切线方程为yax16，则实数a的值是_答案9解析先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线y0x3x0上，求导数得到切线的斜率kf(x0)3x3，又切线过A、M两点，所以k，则3x3.联立可解得x02，y02，从而实数a的值为ak9.7(2013广东)若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.答案解析y2ax，所以y|x12a10，所以a.8(2013江西)若曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.答案2解析yx1，y|x1.曲线在点(1,2)处的切线方程为y2(x1)，将点(0,0)代入得2.9(2014江西)若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_答案(ln 2,2)解析设P(x0，y0)，yex，yex，点P处的切线斜率为kex02，x0ln 2，x0ln 2，y0eln 22，点P的坐标为(ln 2,2)10设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值(1)解方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(x0)(1)(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为(0，)令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.11(2014北京)已知函数f(x)2x33x.(1)求f(x)在区间2,1上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？(只需写出结论)解(1)由f(x)2x33x得f(x)6x23.令f(x)0，得x或x.因为f(2)10，f，f，f(1)1，所以f(x)在区间2,1上的最大值为f.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线yf(x)相切于点(x0，y0)，则y02x3x0，且切线斜率为k6x3，所以切线方程为yy0(6x3)(xx0)，因此ty0(6x3)(1x0)，整理得4x6xt30.设g(x)4x36x2t3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切”等价于“g(x)有3个不同的零点”g(x)12x212x12x(x1)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下：x(，0)0(0,1)1(1，)g(x)00g(x)t3t1所以，g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值当g(0)t30，即t3时，g(x)在区间(，1和(1，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点当g(1)t10，即t1时，g(x)在区间(，0)和0，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点当g(0)0且g(1)0，即3t1时，因为g(1)t70，所以g(x)分别在区间1,0)，0,1)和1,2)上恰有1个零点由于g(x)在区间(，0)和(1，)上单调，所以g(x)分别在区间(，0)和1，)上恰有1个零点综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3，1)(3)过点A(1,2)存在3条直线与曲线yf(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线yf(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线yf(x)相切12(2014课标全国)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1.(1)解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x(0，)时，g(x)0.故g(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g().设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.