课时跟踪检测（十一） 函数与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1若函数f(x)ax1在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_解析：由题意知，f(1)f(1)0，即(1a)(1a)0，解得a1.答案：(，1)(1，)2函数f(x)2alog2xa4x3在区间上有零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)在上是单调函数，又f30，则根据零点存在性定理，应满足f(1)4a30，解得a.答案：3(2016镇江调研)设函数f(x)则方程xf(x)10根的个数为_解析：问题转化为求方程f(x)解的个数，作出函数yf(x)与y的图象，如图所示当x7时，由图象可知解的个数为6.当x7时，f(x)恒成立，即f(x)无解，所以根的个数为6.答案：64已知函数f(x)a的零点为1，则实数a的值为_解析：由已知得f(1)0，即a0，解得a.答案：5若f(x)则函数g(x)f(x)x的零点为_解析：要求函数g(x)f(x)x的零点，即求f(x)x的根，或解得x1或x1.g(x)的零点为1，1.答案：1，1二保高考，全练题型做到高考达标1(2016苏州调研)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是_解析：问题转化为g(x)0，即方程f(x)2x有三个不同的解，即或解得或或因为方程f(x)2x有三个不同的解，所以解得10，Z且2x10能被1整除并且商为自然数，所以有如下几种情况：当2x100，即x5时，m0；当x1时，m3；当x9时，m14；当x10时，m30.综上所述，m的取值集合为0,3,14,30答案：0,3,14,304设函数yf(x)满足f(x2)f(x)，且当x1,1时，f(x)|x|，则函数g(x)f(x)sin x在区间，上的零点个数为_解析：要求函数g(x)f(x)sin x的零点，即求方程f(x)sin x0的根，将其转化为f(x)sin x的根，进一步转化为函数yf(x)与函数ysin x的图象交点的问题在同一坐标系下，作出两个函数的图象如图所示，可知在区间，上有3个交点答案：35(2015南京三模)已知a，t为正实数，函数f(x)x22xa，且对任意的x0，t，都有f(x)a，a若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为_解析：因为f(x)(x1)2a1，且f(0)f(2)a；当a1a，即a时，此时，恒有a1，aa，a，故t(0,2，从而g(a)2；当a1a，即0a时，此时t(0,1)且t22taa在0a上恒成立，即t1(不成立，舍去)或t1，则g(a)1，由于0a，故g(a)(0,1)综上，g(a)的值域为(0,1)2答案：(0,1)26已知f(x)g(x)f(x)xb有且仅有一个零点时，b的取值范围是_解析：要使函数g(x)f(x)b有且仅有一个零点，只需要函数f(x)的图象与函数yb的图象有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象(图略)并观察得，要符合题意，须满足b1或b或b0.答案：(，01，)7已知0a0和k0作出函数f(x)的图象当0k1或k0时，没有交点，故当0k1时满足题意答案：(0,1)8(2015南通调研)已知函数f(x)是定义在1，)上的函数，且f(x)则函数y2xf(x)3在区间(1,2 015)上的零点个数为_解析：由题意得，当1x2时，f(x)设x2n1,2n(nN*)，则1,2)，又f(x)f ，当时，则x2n1,32n2，所以f(x)f ，所以2xf(x)32x30，整理得x222n2x322n40.解得x32n2或x2n2.由于x2n1,32n2，所以x32n2；当时，则x(32n2,2n)，所以f(x)f ，所以2xf(x)32x30，整理得x242n2x322n40.解得x32n2或x2n2.由于x(32n2,2n)，所以无解综上所述，x32n2.由x32n2(1,2 015)，得n11，所以函数y2xf(x)3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.答案：119已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0，使f(x0)x0.证明：令g(x)f(x)x.g(0)，gf ，g(0)g0.又函数g(x)在上是连续曲线，存在x0，使g(x0)0，即f(x0)x0.10已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a.(1)判断命题：“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围解：(1)“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”是真命题；依题意f(x)1有实根，即x2(2a1)x2a0有实根，因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立，即x2(2a1)x2a0必有实根，从而f(x)1必有实根(2)依题意知，要使yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，只需即解得a.故实数a的取值范围为.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知xR，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f(x)a(x0)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是_解析：当0x1时，f(x)aa；1x2时，f(x)aa；2x3时，f(x)aa；.f(x)a的图象是把y的图象进行纵向平移而得到的，画出y的图象，如图所示，通过数形结合可知a.答案：2(2016无锡调研)已知函数yf(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)若关于x的方程f(x)2af(x)0，aR有且仅有8个不同的实数根，则实数a的取值范围是_解析：作出函数f(x)的图象(如图)令tf(x)，则关于x的方程f(x)2af(x)0(aR)有且仅有8个不同的实数根可转化为关于x的方程tf(x)在R上有4个不同的实数根，由函数图象可知，t时关于x的方程tf(x)在R上有4个不同的实数根，故可转化为求关于实数t的方程t2at0在t内有两个不等实根，令g(t)t2at，则即解得a0.f(x)minf(1)4a4，a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)g(x)4ln xx4ln x2(x0)，g(x)1.令g(x)0，得x11，x23.当x变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当0x3时，g(x)g(1)40.又因为g(x)在(3，)上单调递增，因而g(x)在(3，)上只有1个零点故g(x)在(0，)上仅有1个零点