第34练双曲线的渐近线和离心率题型一双曲线的渐近线问题例1(2013课标全国)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为_破题切入点根据双曲线的离心率求出a和b的比例关系，进而求出渐近线答案yx解析由e知，a2k，ck，k(0，)，由b2c2a2k2，知bk.所以.即渐近线方程为yx.题型二双曲线的离心率问题例2已知O为坐标原点，双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，以OF为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A，B，若()0，则双曲线的离心率e为_破题切入点数形结合，画出合适图形，找出a，b间的关系答案解析如图，设OF的中点为T，由()0可知ATOF，又A在以OF为直径的圆上，A，又A在直线yx上，ab，e.题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题例3已知A(1,2)，B(1,2)，动点P满足.若双曲线1(a0，b0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是_破题切入点先由直接法确定点P的轨迹(为一个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系，进一步列出关于离心率e的不等式进行求解答案(1,2)解析设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹为(x1)(x1)(y2)(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆又双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即bxay0，由题意，可得1，即1，所以e1，故1e1的条件，常用到数形结合(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法由yx00，所以可以把标准方程1(a0，b0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据，由于，当e逐渐增大时，的值就逐渐增大，双曲线的“张口”就逐渐增大1已知双曲线1(a0，b0)以及双曲线1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线1的离心率为_答案2或解析由题意，可知双曲线1的渐近线的倾斜角为30或60，则或.则e 或2.2已知双曲线C：1 (a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为_答案解析取双曲线的渐近线yx，则过F2与渐近线垂直的直线方程为y(xc)，可解得点H的坐标为，则F2H的中点M的坐标为，代入双曲线方程1可得1，整理得c22a2，即可得e.3已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为_答案1解析双曲线1的渐近线方程为yx，圆C的标准方程为(x3)2y24，圆心为C(3,0)又渐近线方程与圆C相切，即直线bxay0与圆C相切，2，5b24a2.又1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，a2b29.由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.4已知双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是_答案(1，1)解析根据正弦定理得，由，可得，即e，所以PF1ePF2.因为e1，所以PF1PF2，点P在双曲线的右支上又PF1PF2ePF2PF2PF2(e1)2a，解得PF2.因为PF2ca(不等式两边不能取等号，否则题中的分式中的分母为0，无意义)，所以ca，即e1，即(e1)22，解得e1，所以e(1，1)5(2014湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_答案解析设PF1r1，PF2r2(r1r2)，F1F22c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2rr2r1r2cos ，得4c2rrr1r2.由得所以.令m，当时，mmax，所以()max，即的最大值为.6(2014山东改编)已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为_答案xy0解析由题意知e1，e2，e1e2.又a2b2c，ca2b2，ca2b2，1()4，即1()4，解得，.令0，解得bxay0，xy0.7若椭圆1(ab0)与双曲线1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为_答案(0,1)解析可知e1，e1，所以ee22e1e10e1e20，b0)的左焦点F作圆x2y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线的右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为_答案解析设双曲线的右焦点为F，由于E为PF的中点，坐标原点O为FF的中点，所以EOPF，又EOPF，所以PFPF，且PF2a，故PF3a，根据勾股定理得FFa.所以双曲线的离心率为.9(2014浙江)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足PAPB，则该双曲线的离心率是_答案解析双曲线1的渐近线方程为yx.由得A(，)，由得B(，)，所以AB的中点C坐标为(，)设直线l：x3ym0(m0)，因为PAPB，所以PCl，所以kPC3，化简得a24b2.在双曲线中，c2a2b25b2，所以e.10(2013湖南)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1PF26a，且PF1F2的最小内角为30，则双曲线C的离心率为_答案解析不妨设PF1PF2，则PF1PF22a，又PF1PF26a，PF14a，PF22a.又在PF1F2中，PF1F230，由正弦定理得，PF2F190，F1F22a，双曲线C的离心率e.11P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：1(a0，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值解(1)点P(x0，y0)(x0a)在双曲线1上，有1.由题意有，可得a25b2，c2a2b26b2，则e.(2)联立得4x210cx35b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)则设(x3，y3)，即又C为双曲线上一点，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2.化简得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x5y5b2，x5y5b2.由(1)可知c26b2，由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2.得240，解得0或4.12(2014江西)如图，已知双曲线C：y21(a0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点)(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值解(1)设F(c,0)，直线OB方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，解得B(，)又直线OA的方程为yx，则A(c，)，kAB.又因为ABOB，所以()1，解得a23，故双曲线C的方程为y21.(2)由(1)知a，则直线l的方程为y0y1(y00)，即y.因为c2，所以直线AF的方程为x2，所以直线l与AF的交点为M(2，)；直线l与直线x的交点为N(，)则.因为P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得，即为定值