课时跟踪检测（四十一） 空间几何体的表面积与体积一抓基础，多练小题做到眼疾手快1一个球的表面积是16，那么这个球的体积为_解析：设球的半径为R，则表面积是16，即4R216，解得R2.所以体积为R3.答案：2若一个圆台的母线长l，上、下底面半径r1，r2满足2lr1r2，且侧面积为8，则母线长l_.解析：S圆台侧(r1r2)l2l28，所以l2.答案：23在三角形ABC中，AB3，BC4，ABC90，若将ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为_解析：依题意知几何体为底面半径为3，母线长为5的圆锥，所得几何体的侧面积等于3515.答案：154棱长为a的正方体有一内切球，该球的表面积为_解析：由题意知球的直径2Ra，R.S4R24a2.答案：a25如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为3，D为CC1上一点，且CD2DC1，则三棱锥A1BCD的体积_解析：过A1作A1HB1C1，垂足为H.因为平面A1B1C1平面BB1C1C，所以A1H平面BB1C1C，所以VA1BCD323.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为_解析：设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S(r3r)384，解得r7.答案：72若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_解析：因为半圆面的面积为l22，所以l24，解得l2，即圆锥的母线为l2，底面圆的周长2rl2，所以圆锥的底面半径r1，所以圆锥的高h，所以圆锥的体积为r2h.答案：3已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为_解析：设正六棱柱的高为h，则可得()232，解得h2.答案：24已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为_ cm3.解析：设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x672，所以x2 cm，于是其体积V226636 cm3.答案：365(2016南通调研)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为_cm2.解析：作出轴截面图，其中圆的内接矩形为正四棱柱的对角面，易求棱柱的侧棱长为，所以S表4121224(cm2)答案：246已知正三棱锥SABC，D，E分别是底面边AB，AC的中点，则四棱锥SBCED与三棱锥SABC的体积之比为_解析：设正三棱锥SABC底面ABC面积为4S.由2，所以，SADES，S四边形BCDE3S，因两个棱锥的高相同，所以VSBCEDVSABC34.答案：347已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_解析：如图，连结AC，BD交于H，连结OH.在矩形ABCD中，由AB6，BC2可得BD4，所以BH2，在RtOBH中，由OB4，所以OH2，所以四棱锥OABCD的体积V6228.答案：88(2016盐城调研)在半径为2的球面上有不同的四点A，B，C，D，若ABACAD2，则平面BCD被球所截得图形的面积为_解析：过点A向平面BCD作垂线，垂足为M，则M是BCD的外心，而外接球球心O位于直线AM上，连结BM，设BCD所在截面圆半径为r，OAOB2AB，BAO60，在RtABM中，r2sin 60，所求面积Sr23.答案：39一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切将球取出后，容器内的水深是多少？解：如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PCh，球取出后，水面高PHx.根据题设条件可得ACr，PC3r，则以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥AC2PC(r)23r3r3.V球r3.球取出后，水面下降到EF，水的体积为V水EH2PH(PHtan 30)2PHx3.又V水V圆锥V球，则x33r3r3，解得xr.故球取出后，容器内水深为r.10.(2016安徽六校联考)如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，求该多面体的体积解：法一：如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连结DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，三棱锥高为，直三棱柱柱高为1，AG ，取AD中点M，则MG，SAGD1，V12.法二：如图所示，取EF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥PAED和三棱锥PBCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥PABCD为棱长为1的正四棱锥V122.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1如图，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为_解析：由图示可得BDAC，BC，DBC与ABC都是以BC为斜边的直角三角形，由此可得BC中点到四个点A，B，C，D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为，所以该外接球的表面积S423.答案：32(2015南京二模 )一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器当x6 cm时，该容器的容积为_cm3.解析：如图所示，由题意可知，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧面的斜高PM5 cm，高PO4 cm，所以所求容积为V62448(cm3)答案：483.如图，在三棱锥DABC中，已知BCAD，BC2，AD6，ABBDACCD10，求三棱锥DABC的体积的最大值解：由题意知，线段ABBD与线段ACCD的长度是定值，因为棱AD与棱BC相互垂直设d为AD到BC的距离则VDABCADBCd2d，当d最大时，VDABC体积最大，ABBDACCD10，当ABBDACCD5时，d有最大值.此时V2.