课时跟踪检测（三十九） 基本不等式及应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知a，bR，且ab1，则ab的最大值为_解析：a，bR，1ab2，ab，当且仅当ab时等号成立，ab的最大值为.答案：2(2016盐城调研)若正数a，b满足1，则的最小值为_解析：因为a0，b0，1，所以abab，则4b16a20.又4b16a4(b4a)2042042 36，当且仅当且1，即a，b3时取等号，所以362016.答案：163已知abt(a0，b0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t_.解析：因为a0，b0时，有ab，当且仅当ab时取等号因为ab的最大值为2，所以2，t28，所以t2.答案：24(2016常州一模)已知x0，则的最大值为_解析：因为，又x0时，x24，当且仅当x，即x2时取等号，所以00，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是_解析：由题意知：ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44.当且仅当ab1时取等号mn的最小值是4.答案：42(2015湖南高考改编)若实数a，b满足，则ab的最小值为_解析：由，知a0，b0，所以2 ，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.答案：23某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品_件解析：每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则2 20，当且仅当，即x80时“”成立，每批生产产品80件答案：804(2016重庆巴蜀中学模拟)若正数a，b满足ab2，则的最小值是_解析：(52)，当且仅当，即a，b时取等号所以的最小值是.答案：5若一元二次不等式ax22xb0(ab)的解集为，则的最小值是_解析：由一元二次不等式ax22xb0的解集为，得所以ab1且a0.又已知ab，所以(ab)2，当且仅当ab时取等号所以的最小值是2.答案：26已知实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值为_解析：因为x2y2xy1，所以x2y21xy.所以(xy)213xy132，即(xy)24，解得2xy2.当且仅当xy1时等号成立所以xy的最大值为2.答案：27(2016青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x2y4，则log2xlog2y的最大值为_解析：因为log2xlog2ylog22xy1log221211，当且仅当x2y2，即x2，y1时等号成立，所以log2xlog2y的最大值为1.答案：18规定记号“”表示一种运算，即abab(a，b为正实数)若1k3，则k的值为_，此时函数f(x)的最小值为_解析：1k1k3，即k20，1或2(舍)，k1.f(x)1123，当且仅当，即x1时等号成立答案：139(1)当x时，求函数yx的最大值；(2)设0x2，求函数y的最大值解：(1)y(2x3).当x0，2 4，当且仅当，即x时取等号于是y4，故函数的最大值为.(2)0x0，y ，当且仅当x2x，即x1时取等号，当x1时，函数y的最大值为.10已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 ，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18.当且仅当x12且y6时等号成立，xy的最小值为18.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016南京名校联考)设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为12，则的最小值为_解析：不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示由zaxby得yx，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为，在y轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a6b12，即2a3b6，所以4，当且仅当a，b1时等号成立所以的最小值为4.答案：42(2015南京二模)已知函数f(x)(aR)若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_解析：令f(x)3(xN*)，则(3a)xx28，即3ax.因为x24，当且仅当x2时取等号，又xN*，当x2时，x6；当x3时，x36，因此x的最小值为3，于是3a3，即a.答案：3(2016常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值解：(1)由题设，得S(x8)2x916，x(8,450)(2)因为8x450，所以2x2 240，当且仅当x60时等号成立，从而S676.故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形为区域的总面积最大，最大为676 m2.