8函数性质在运用中的巧思妙解1已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)a，则f(log3)_.答案解析由题意，可知函数f(x)为奇函数，所以f(0)a0，解得a，所以当x0时，f(x).所以f(log32).从而f(log3)f(log32)f(log32).2定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 013)_.答案337解析f(x6)f(x)，T6.当3x1时，f(x)(x2)2，当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)1335.而f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(1)f(2)f(3)2，f(1)f(2)f(2 013)3352337.3设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2，若对任意的x2，2，不等式f(xt)2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是_答案(，解析设x0.f(x)(x)2，又f(x)是奇函数，f(x)x2.f(x)在R上为增函数，且2f(x)f(x)f(xt)2f(x)f(x)xtx在2，2上恒成立，xtx(1)xt，要使原不等式恒成立，只需(1)(2)tt即可4(2013天津改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数a满足f(log2a)f(loga)2f(1)，则a的取值范围是_答案解析由题意知a0，又logalog2a1log2a.f(x)是R上的偶函数，f(log2a)f(log2a)f(loga)，f(log2a)f(loga)2f(1)，2f(log2a)2f(1)，即f(log2a)f(1)又f(x)在0，)上递增，|log2a|1，1log2a1，a.5函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，当x(，0)时，f(x)xf(x)ac解析因为函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，所以yf(x)关于y轴对称所以函数yxf(x)为奇函数因为xf(x)f(x)xf(x)，所以当x(，0)时，xf(x)f(x)xf(x)0，函数yxf(x)单调递减，从而当x(0，)时，函数yxf(x)单调递减因为120.22,0ln 21，log2，从而0ln 220.2ac.6已知定义在R上的函数yf(x)满足以下三个条件：对于任意的xR，都有f(x4)f(x)；对于任意的x1，x2R，且0x1x22，都有f(x1)f(x2)；函数yf(x2)的图象关于y轴对称则f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系是_答案f(4.5)f(7)f(6.5)解析由已知得f(x)是以4为周期且关于直线x2对称的函数所以f(4.5)f(4)f()，f(7)f(43)f(3)，f(6.5)f(4)f()又f(x)在0,2上为增函数所以作出其在0,4上的图象知f(4.5)f(7)f(6.5)7已知函数f(x)是R上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log8(x1)，则f(2 013)f(2 014)的值为_答案解析当x0时，有f(x2)f(x)，故f(x4)f(x2)2)f(x2)f(x)由函数f(x)在R上为偶函数，可得f(2 013)f(2 013)，故f(2 013)f(45031)f(1)，f(2 014)f(45032)f(2)而f(1)log8(11)log82，f(2)f(02)f(0)log810.所以f(2 013)f(2 014).8对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_答案1解析依题意，h(x)当02时，h(x)3x是减函数，h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.9(2013江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_答案(5,0)(5，)解析由已知得f(0)0，当xx等价于或，解得：x5或5x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.(1)证明方法一设x10，f(x)1，f(x2)f(x1x)f(x1)f(x)1f(x1)，f(x)是R上的增函数方法二f(00)f(0)f(0)1，f(0)1，f(0)f(xx)f(x)f(x)11，f(x)2f(x)设x10，f(x2x1)f(x2)f(x1)1f(x2)2f(x1)1f(x2)f(x1)11，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)是R上的增函数(2)解f(4)f(2)f(2)15，f(2)3，f(3m2m2)3f(2)又由(1)的结论知f(x)是R上的增函数，3m2m22，1m0，判断函数f(x)的单调性；(2)若abf(x)时x的取值范围解(1)当a0，b0时，任意x1，x2R，x1x2，则f(x1)f(x2)a(22)b(33)20a(22)0，30b(33)0，f(x1)f(x2)0，函数f(x)在R上是增函数当a0，b0，当a0时，x，则xlog1.5；当a0，b0时，x，则xlog1.5.故a0时，x(log1.5()，)；a0，b0时，x(，log1.5()