第43练几何证明选讲题型一相似三角形及射影定理例1如图所示，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，且ADBD94，求ACBC的值破题切入点含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分简捷解方法一因为ACB90，CDAB于D，所以由射影定理，得AC2ADAB，BC2BDAB.所以()2.又ADBD94，所以ACBC32.方法二因为ADBD94，所以可设AD9k，BD4k，k(0，)又ACB90，CDAB于D，由射影定理，得CD2ADBD，所以CD6k.由勾股定理，得AC3和BC2，所以ACBC32.题型二相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用例2如图所示，AB为O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切O于点C，CDAB，垂足为D，且PA4，PC8，求tanACD和sin P.破题切入点(1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值(2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系解连结OC，BC.因为PC为O的切线，所以PC2PAPB.故824PB，所以PB16.所以AB16412.由条件，得PCAPBC，又PP，所以PCAPBC.所以.因为AB为O的直径，所以ACB90.又CDAB，所以ACDB.所以tanACDtan B.因为PC为O的切线，所以PCO90.又O直径为AB12，所以OC9，PO10.所以sin P.题型三四点共圆的判定例3如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且AEAF.证明：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)CE平分DEF.破题切入点(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边表的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆证明(1)在ABC中，因为B60，所以BACBCA120.因为AD、CE分别是BAC、DCF的平分线，所以HACHCA60，故AHC120.于是EHDAHC120.所以EBDEHD180，所以B、D、H、E四点共圆(2)连结BH，则BH为ABC的平分线，得HBD30.由(1)知B、D、H、E四点共圆，所以CEDHBD30.又AHEEBD60，由已知可得EFAD，可得CEF30.所以CE平分DEF.总结提高(1)证明两角相等，关键是确定两角之间的关系，多利用中间量进行转化，可以通过证明三角形相似或全等，利用平行线的有关定理，如同位角相等、内错角相等等，也可利用特殊平面图形的性质，如利用等腰三角形的两个底角相等、圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中间量进行过渡(2)证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系，除了注意平面图形中的垂直、平行关系之外，还应注意弦切角、同弧所对角等性质的灵活运用1.如图，RtABC中，BAC90，ADBC于D，BE平分ABC交AC于E，EFBC于F.求证：EFDFBCAC.证明BAC90，且ADBC，由射影定理得AC2CDBC，.EFBC，ADBC，EFAD，.又BE平分ABC，且EAAB，EFBC，AEEF，.由、得，即EFDFBCAC.2.(2014陕西改编)如图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，求EF的值解AA，AEFACB，AEFACB，2，EF3.3(2014重庆改编)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA6，AC8，BC9，求AB的值解由切割线定理得PA2PBPCPB(PBBC)，即62PB(PB9)，解得PB3(负值舍去)由弦切角定理知PABPCA，又APBCPA，故APBCPA，则，即，解得AB4.4.如图，在RtABC中，C90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEEB，且AD2，AE6.(1)判断直线AC与BDE的外接圆的位置关系；(2)求EC的长解(1)取BD的中点O，连结OE.BE平分ABC，CBEOBE.又OBOE，OBEBEO，CBEBEO，BCOE.C90，OEAC，直线AC是BDE的外接圆的切线，即直线AC与BDE的外接圆相切(2)设BDE的外接圆的半径为r.在AOE中，OA2OE2AE2，即(r2)2r262，解得r2，OA2OE，A30，AOE60.CBEOBE30，ECBEr23.5.如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2PAPC；(2)若O的半径为2，OAOM，求MN的长(1)证明连结ON，则ONPN，且OBN为等腰三角形，则OBNONB，PMNOMB90OBN，PNM90ONB，PMNPNM，PMPN.根据切割线定理，有PN2PAPC，PM2PAPC.(2)解OM2，在RtBOM中，BM4.延长BO交O于点D，连结DN.由条件易知BOMBND，于是，即，BN6.MNBNBM642.6如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，求线段CD的长解因为AFBFEFCF，解得CF2，所以，即BD.设CDx，AD4x，所以4x2，所以x.7(2014课标全国)如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形证明(1)由题设知，A，B，C，D四点共圆，所以DCBE，由已知CBCE得CBEE，故DE.(2)如图，设BC的中点为N，连结MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE，由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形8.如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求OAMAPM的大小(1)证明连结OP，OM，因为AP与O相切于点P，所以OPAP，因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC，于是OPAOMA180.由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆(2)解由(1)得，A，P，O，M四点共圆，所以OAMOPM，由(1)得OPAP，由圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90，所以OAMAPM90.9(2014辽宁)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连结DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若ACBD，求证：ABED.证明(1)因为PDPG，所以PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA.又由于PGDEGA，故DBAEGA，所以DBABADEGABAD，从而BDAPFA.由于AFEP，所以PFA90，于是BDA90，故AB是直径(2)连结BC，DC.由于AB是直径，故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD，从而RtBDARtACB.于是DABCBA.又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.由于ABEP，所以DCEP，DCE为直角于是ED为直径由(1)得EDAB.10.如图所示，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.(1)证明：OMOPOA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于B点过B点的切线交直线ON于K.证明：OKM90.证明(1)因为MA是圆O的切线，所以OAAM.又因为APOM，在RtOAM中，由射影定理知，OA2OMOP.(2)因为BK是圆O的切线，BNOK，同(1)，有OB2ONOK，又OBOA，所以OPOMONOK，即.又NOPMOK，所以ONPOMK，故OKMOPN90.11如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交O于点E.证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.证明(1)由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.从而，即ACBDADAB.(2)由AD与O相切于A，得AEDBAD.又ADEBDA，得EADABD.从而，即AEBDADAB.结合(1)的结论知，ACAE.12.如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.证明(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD，所以BGD