2024届湖南省A佳经典联考试题高二数学第一学期期末质量检测试题请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若倾斜角为的直线过，两点，则实数（ ）A.B.C.D.2设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（）A.6B.C.8D.3在长方体中，点分别在棱上，则（ ）A.B.C.D.4已知椭圆的离心率为，则（）A.B.C.D.5如果一个矩形长与宽的比值为，那么称该矩形为黄金矩形.如图，已知是黄金矩形，分别在边，上，且也是黄金矩形.若在矩形内任取一点，则该点取自黄金矩形内的概率为（ ）A.B.C.D.6圆的圆心和半径分别是（ ）A.B.C.D.7若直线：与直线：平行，则a的值是（ ）A.1B.C.或6D.或78在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.9双曲线的虚轴长为（ ）A.B.C.3D.610设双曲线C： 的左、右焦点分别为，点P在双曲线C上，若线段的中点在y轴上，且为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）A B.2C.D.11变量，满足约束条件则的最小值为()A.B.C.D.512已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若函数在处取得极小值，则a=_14设x，y满足约束条件则的最大值为_15已知等差数列的公差不为零，若，成等比数列，则_.16若直线过圆的圆心，则实数a的值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知集合，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.18（12分）如下图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、三点互不重合（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值19（12分）已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列.（2）求数列的前项和.20（12分）已知等差数列的前项和为，满足，.（1）求数列的通项公式与前项和；（2）求的值.21（12分）在平面直角坐标系中，已知直线(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.22（10分）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了1000件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，若该工厂认定产品的质量指数不低于6为优良级产品，产品的质量指数在内时为优等品.（1）用统计有关知识判断甲、乙两条生产线所生产产品的质量哪一条更好，并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从该工厂样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，求抽取到的2件产品都是甲生产线生产的概率.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据直线的倾斜角和斜率的关系得到直线的斜率为，再根据两点的斜率公式计算可得；【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；故选：C2、B【解析】利用椭圆的几何性质，得到，进而利用得出，进而可求出【详解】解：由椭圆的方程可得，所以，得且，在中，由余弦定理可得，而，所以，又因为，所以，所以，故选：B3、D【解析】依题意可得，从而得到，即可得到，从而得解；【详解】解：由长方体的性质可得，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以；故选：D4、D【解析】由离心率及椭圆参数关系可得，进而可得.【详解】因为，则，所以.故选：D5、B【解析】由几何概型的面积型，只需求小矩形的面积和大矩形面积之比.【详解】由题意，不妨设，则，又也是黄金矩形，则，又，解得，于是大矩形面积为：，小矩形的面积为，由几何概型的面积型，概率为若在矩形内任取一点，则该点取自黄金矩形内的概率为：.故选：B.6、B【解析】将圆的方程化成标准方程，即可求解.【详解】解：.故选：B.7、D【解析】根据直线平行的充要条件即可求出【详解】依题意可知，显然，所以由可得，解得或7故选：D8、A【解析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线夹角的余弦值.【详解】如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，则，设异面直线与所成角为（），则.故选：A9、D【解析】根据题意，由双曲线的方程求出的值，即可得答案【详解】因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.故选：D.10、A【解析】根据是等腰直角三角形，再表示出的长，利用三角形的几何性质即可求得答案.【详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M，因为O为的中点，所以,而,则，为等腰三角形，故，由，得，又为等腰直角三角形，故，即 ，解得 ，即，故选：A.11、A【解析】根据不等式组，作出可行域，数形结合即可求z的最小值.【详解】根据不等式组作出可行域如图，则直线过A(1，0)时，z取最小值.故选：A.12、B【解析】由双曲线的渐近线方程以及即可求得离心率.【详解】由已知条件得，故选：.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】对函数求导，根据极值点得到或，讨论的不同取值，利用导数的方法判定函数单调性，验证极值点，即可得解.【详解】由可得，因为函数在处取得极小值，所以，解得或，若，则，当时，则单调递增；当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以函数在处取得极小值，符合题意；当时，当时，则单调递增；当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以函数在处取得极大值，不符合题意；综上：.故答案为：2.【点睛】思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般需要先对函数求导，根据极值点求出参数，再验证所求参数是否符合题意即可.14、1【解析】先作出可行域，由，得，作出直线，向下平移过点时，取得最大值，求出点坐标代入目标函数中可得答案【详解】作出可行域如图（图中阴影部分），由，得，作出直线，向下平移过点时，取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故答案为：115、0【解析】设等差数列的公差为，根据，成等比数列，得到，再根据等差数列的通项公式可得结果.【详解】设等差数列的公差为，因为，成等比数列，所以，所以，整理得，因为，所以，所以.故答案为：0.【点睛】本题考查了等比中项，考查了等差数列通项公式基本量运算，属于基础题.16、【解析】根据圆的求得圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，即可求解.【详解】由题意，圆，可得圆心为，因为圆心为在直线上，可得，解得.故答案：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1).(2).【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定义，B集合解不等式即可，然后由交集定义即可得结论；（2）若“”是“”的必要不充分条件，说明且，然后根据集合关系求解.详解：(1), . 则(2)，因为“”是“”的必要不充分条件，所以且. 由，得，解得. 经检验，当时，成立，故实数的取值范围是. 点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确求解集合，缕清集合间的基本关系是解题关键，属于基础题.18、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据离心率为可得，把代入方程可得，又，解方程组即可求得方程；（2）设直线的方程为，整理方程组，求得，及参数的范围，由斜率公式表示出，结合直线方程和韦达定理整理即可得到定值.试题解析：（1）由题意，可得，代入得，又，解得，所以椭圆的方程为.（2）证明：设直线的方程为，又，三点不重合，设，由得，所以，解得，设直线，的斜率分别为，则（），分别将式代入（），得，所以，即直线，的斜率之和为定值考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查了方程的思想和考试与运算能力，属于中档题.求椭圆方程通常用待定系数法，注意隐含条件；研究圆锥曲线中的定值问题，通常根据交点与方程组解得对应性，设而不解，表示出待求定值的表达式，利用韦达定理代入整理，消去参数即可得到定值.19、（1）证明见解析 （2）【解析】（1）由结合等差数列的定义证明即可；（2）由结合错位相减法得出前项和.【小问1详解】在两边同时除以，得：，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列；【小问2详解】由（1）得：，得：所以.20、（1），；（2）.【解析】(1)设出等差数列的公差，借助前项和公式列式计算作答.(2)由(1)的结论借助裂项相消去求解作答.【小问1详解】设等差数列的公差为，因，则，解得，于是得，所以数列的通项公式为，前项和.【小问2详解】由(1)知，所以.21、（1）；（2）3.【解析】（1）把展开得，两边同乘得,再代极坐标公式得曲线的直角坐标方程.（2）将代入曲线C的直角坐标方程得，再利用直线参数方程t的几何意义和韦达定理求解.【详解】（1）把展开得，两边同乘得将代入，即得曲线的直角坐标方程为（2）将代入式，得，点M的直角坐标为（0，3），设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则 t10， t20则由参数t的几何意义即得.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化、直线参数方程t的几何意义，属于基础题.22、（1）甲更好，详细见解析（2）【解析】（1）根据频率分布直方图计算甲、乙两条生产线所生产产品的质量指数的平均数，比较大小即可得答案；（2）由题意可知，甲、乙生产线的样品中优等品件数，利用分层抽样可得从甲生产线的样品中抽取的优等品有件件，记为，从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；列出抽取到的2件产品的所有基本事件，根据古典概型计算即可.【小问1详解】解：甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：30.052+50.152+70.22+90.126.4；乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为：30.1