第二十六章 圆与正多边形 14课时13+1 第二十七章 统计初步 10课时 9+1第二十六章 圆与正多边形261 圆的确定1课时1教学目标1知道点与圆的三种位置关系,了解三角形外心、外接圆、圆的内接三角形以与多边形的外接圆和圆的内接多边形等概念.2理解点与圆的位置关系的判定方法,并能初步运用点与圆位置关系的判定方法解决有关数学问题.3会画三角形的外接圆.在教学中,要注意以下几点：关于圆的半径,本节明确指出它是联结圆心和圆上一点的线段.要将半径与半径长区分开来,而以前的课本中有混用的情况,需要修改.对于点与圆的位置关系的研究,可先进行定性讨论,再进行定量分析.在进行定量分析时,由点与圆的位置关系推出相应的点与圆心的距离和圆的半径之间的大小关系,可以理解为这是点与圆的位置关系的性质.反过来,由点与圆心的距离和圆的半径的大小关系推出相应的点与圆的位置关系,可以理解为这是点与圆的位置关系的判定.这也是边款中关于符号的说明的真正含义.例题1是对点与圆位置关系判定方法的初步运用.教学时,要让学生理解每个小问中哪条线段的长可以看作是C的半径.这是解决问题的关键.思考是为接下来的问题研究作好准备.通过思考,既让学生知道在平面上,经过给定两点的圆有无数个这样一个结论,又知道经过平面内给定两个点作圆的方法.在问题研究时,学生可能不会想到三个点在同一直线上的情况,直接得出在平面上,经过三点的圆只有一个错误的结论.在教学时,应指导学生仔细分析问题,对问题进行分类讨论.让学生真正理解为什么在定理中强调三个点不在同一直线上的条件,同时注意到经过同一直线上的三点的圆不存在.例题2是让学生学会画给定三角形的外接圆.例题有意识地安排学生画一个钝角三角形的外接圆.边款中也指出这个钝角三角形外接圆的圆心在这个三角形的外部.而课本中图26-5的A、B、C三点其实是一个锐角三角形的顶点,所确定的圆心O是这个锐角三角形外接圆的圆心,这个圆心在三角形的内部.在练习26.1中,又安排学生画出给定的一个直角三角形的外接圆,并要指出这个外接圆圆心的位置.这种安排,是要让学生在会画出各种给定三角形的外接圆的同时,总结出不同类型的三角形的外接圆圆心的位置特点,知道锐角三角形外接圆的圆心在这个三角形的内部、直角三角形外接圆的圆心是这个直角三角形斜边中点、钝角三角形外接圆的圆心在这个三角形的外部这三个几何事实. 练习26.1第3题,是引起学生对四边形外接圆的思考,让学生知道任一四边形不一定存在外接圆.26.2圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系3课时1.教学目标1理解圆心角、弧、弦、弦心距等概念.2掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理与其推论,能初步运用这些定理与其推论解决有关数学问题.在教学中,要注意以下几点：在圆心角、弧、弦、弦心距概念教学时,要把握准每个概念的含义,帮助学生正确理解概念的文字描述.如弦心距是圆心到弦的距离,即圆心到弦的垂线段的长,而不是圆心到弦的垂线段.又如等弧是指能够重合的两条弧,它包含形状相同、长度也相同两层含义,而不仅仅是长度相同.为了便于研究讨论,边款中特别指出没有特别说明,本章中的圆心角通常是指大于0小于180的角.同时要向学生讲清楚,涉与到大于180的圆心角时必须加以说明.本节仍然用叠合法来导出圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理.如果用弧长计算公式,那么只能推出两条弧长度相等,不能说明两条弧为什么能重合.课本中对这个定理的证明,虽然是操作说理,但运用叠合法的过程是严谨的. 问题2”的设置,是引导学生分别由弧相等、或弦相等、或弦心距相等这些条件,化归到圆心角相等,进而根据已有的圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理,推出其他几组量也相等,得到这个定理的推论. 例题1是圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的初步运用,要注意规范表达.例题2、例题3是圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论的初步运用.教学时,要指导学生学会如何用+、符号表达弧的和与差；还要让学生体验到运用这个定理与其推论可使证明过程更为简明.26.3垂径定理3课时1教学目标1经历垂径定理的探索和证明过程,掌握垂径定理与其推论,能初步运用垂径定理与推论解决有关数学问题.2在证明垂径定理的推论的活动中,领会分类讨论的数学思想.在教学中,要注意以下几点： 本节开头说明了圆是轴对称图形,然后在思考 中提出问题,引导学生直观感知垂径定理的真实性,再用推理的方法加以证明.教学中,要注意展现垂径定理的导出和证明过程,让学生获得实验归纳猜测论证的过程经历. 对于垂径定理文字描述的理解,在边款中特别指出,垂径定理条件中的弦可以是直径,结论中平分弦所对的弧包括弦所对的劣弧和优弧；垂径定理中的条件圆的直径垂直于弦,也可表述为圆的半径垂直于弦,或者圆心到弦的垂线段.这样,学生在实际问题背景下,可灵活运用垂径定理来解决数学问题. 例题1是垂径定理的初步运用.学生有可能还是习惯用等腰三角形三线合一来证明,要引导学生对不同的证明方法进行比较,帮助学生理解新的定理在几何证明中所起的作用,看到不同证明方法之间的联系和课本中证明过程的简约. 例题2 是运用垂径定理解决简单的实际数学问题.本题的背景赵州石拱桥,教学时要指导学生如何将现实生活中的数学问题抽象为数学模型,要关注这个转化的过程,渗透数学建模思想.同时,可结合本例渗透两纲教育,激发学生的爱国热情.例题中有拱高,后面又提出了弓形的概念,教学时要向学生解说,并注意边款中对弓形与拱形两个概念的区别的说明. 问题1”和问题2”都是为导出垂径定理的推论进行问题驱动,是从构造垂径定理的逆命题的角度提出来的,也体现了分类讨论的数学思想. 例题3是垂径定理推论的初步运用,解题过程中用到锐角三角比知识,主要考虑到简化计算过程. 例题4是运用垂径定理的推论作图等分一条已知弧.可先让学生独立思考作图的方法,然后共同说明作图的依据,并作总结.通过此例,可让学生归纳：要平分一条线段或圆弧,只要作出这条线段或联结这两点的的垂直平分线.结合这道例题,也可要求学生找出这条弧所在圆的圆心位置,并说出作图的理由.8 例题5是运用垂径定理的推论进行几何计算.在解题过程中,通过构造直角三角形、运用勾股定理来求圆中的线段长,有一定的综合运用要求,要引导学生把握知识之间的联系和构造直角三角形的基本方法.9 例题6是垂径定理推论的综合运用.要指导学生联系关于同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理分析证明思路.证题后,可提出将题中的条件AB=CD与结论PA=PC对调,请学生思考如何证明.10在例题7中,由于两平行弦间的距离大于圆的半径,因此这两条弦在圆心的两侧.如果两平行弦间的距离小于圆的半径,那么这两条弦可能在圆心的两侧,也可能在圆心的同侧.完成例题7的教学后,要提醒学生注意在一般情况下两平行弦与圆心的位置关系特征,使学生对练习26.33第3题的分析全面些.26.4直线与圆的位置关系1课时1教学目标理解直线与圆的三种位置关系.掌握直线与圆的位置关系用数量关系所描述的性质与判定,并能初步运用它们解决有关数学问题.知道切线的判定定理,会过圆上一点画圆的切线.经历探究直线与圆的位置关系的动态变化过程,从中进一步领会分类讨论、化归的数学思想.体验事物运动变化中量变引起质变的观点,树立辨证唯物主义观点,发展抽象、分析、概括的能力.教学过程中,应注意以下几点 操作是为了直观展现知识的发生过程,同时增强教学的直观性和趣味性.要引导学生将操作过程抽象为数学问题,强调将硬币的边缘看作一个圆.还可利用多面体,提供现实生活中体现直线与圆的位置关系的直观形象,增强学生的感性认识. 思考中提出的问题,是引导学生从数量分析的角度研究直线与圆的位置关系.根据直线与圆的三种位置关系,推出相应的圆心到直线的距离与半径的大小关系；再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系推出相应的直线与圆的位置关系.注意要从正、反两个方面进行解说；对于当时推出上一定有一些点在圆内,可画图分析,如从圆心引直线的垂直线段和斜线段,由可知垂足和斜足之间线段内的点在圆内. 例题1是根据切线的判定定理作圆的切线,要让学生掌握作图的方法. 例题2是直线与圆位置关系判定的初步运用.解题中求圆心到直线的距离时采用了用面积法,过程简单明了,教学时可以将本例题与练习26.4 第3题进行比较.26.5圆与圆的位置关系3课时1教学目标1 理解圆与圆的位置关系与其有关概念,并能初步运用这些知识解决有关问题.2经历圆与圆的位置关系的探索过程,进一步领会类比、分类、化归、数形结合等数学思想；体会事物之间相互联系和运动变化,量变引起质变等辩证唯物主义观点；发展分析、归纳、抽象、概括能力以与判断的能力.3掌握圆与圆的位置关系用数量关系所描述的性质与判定,并能初步运用它们解决有关数学问题.4掌握相关两圆的连心线性质与相切两圆连心线性质.在教学中,要注意以下几点： 操作中在 纸上所画的圆的半径为2.5厘米,为的是使这个圆比硬币更大,便于将要进行的操作和观察.教学时,要让学生动手操作,同时将硬币的边缘抽象为一个圆,再观察在操作过程中硬币边缘与所画的圆的公共点的个数.教师在听取学生的回答后,可向学生提出边款中的问题,由于不在一直线上的三点确定一个圆,所以两个不同的圆的公共点不可能有三个. 在教学中,可让学生类比直线与圆的位置关系,自主找出两圆可能形成的各种位置关系. 然后对各种位置关系进行分类,再归纳各类位置关系的本质特征,最后由学生给出两圆相离、相切、相交的定义.教师根据学生的定义,加以适当校正,并给出规范定义. 在寻找两圆位置关系时,要让学生动口、动手、动脑,进行观察、思考、猜想、归纳,亲身经历圆与圆的位置关系变化过程,以运动的观点,认识事物的本质,加深对知识的理解.学生知道了两圆相离、相切、相交的概念后,可让学生在这三个概念中找出关键词,说出分类的依据；然后让学生继续观察和比较每一大类中的图形,进行再次分类. 问题的提出是引导学生用数量分析的方法研究两圆位置关系,探索它与两圆的半径长、圆心距这三个量的数量关系之间的联系.对于用这三个量的数量关系描述圆与圆的位置关系各种情况进行讨论时,可采用先易后难、突破关键的教学策略. 先让学生解决两圆外离、外切、内切的情况,通过对图形的观察和分析,容易得到相应的数量关系表达式；然后解决内含的情况,注意可为零；最后对相交的情况进行分析,由两圆圆心的联线与两圆的半径构造三角形,利用三角形三边的长度关系,推出描述两圆相交的数量关系表达式.另外,考虑到这部分内容比较抽象,教师可适当借助多媒体教学手段辅助教学,以便于学生思考和理解.5当时,两圆内含,这时两圆为同心圆.也就是说,同心圆的位置关系是两圆内含的一种特殊情形.注意,同心圆是圆心相同、大小不同的两个圆,它们不是同圆.6 例题1是判断两圆位置关系,题中给定了两圆的半径与圆心距,可直接运用两圆位置关系的数量关系表达式进行判断.可让学生自主得到结论,出现错