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2019届高三数学下学期期末统考模拟试题(1)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案填写在答题卡相应位置上)1.已知集合,则 .2.若为虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的 条件3.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个,被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是 .4. 已知MOD函数是一个求余函数,记表示除以的余数,例如右图是某个算法的程序框图,若输入的值为48时,则输出的值为 5.已知点在直线上,则的最小值是 .6. 已知函数,则_ _ .7. ,当时,若有三个不等实数根,且它们成等差数列,则_ .8.已知函数在上单调,且函数的图像关于对称,若数列是公差不为0的等差数列,且,则的前100项的和为 .9. 在中, 所对的边分别是当钝角ABC的三边是三个连续整数时,则外接圆的半径为_10.若圆上只有一点到双曲线的一条渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率为 .11.已知点,若圆上存在一点使得,则的最大值为 .12. 已知三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上,且、两两互相垂直,则三棱锥的侧面积的最大值为_13. 已知函数, ,若与的图象上分别存在点,使得关于直线对称,则实数的取值范围是_14. 在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足,则点集,|+|1,R所表示的区域的面积是 二、解答题(本大题共6小题,共90分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分) 已知函数.(1)求的单调递增区间;(2)在中,三内角的对边分别为,已知,成等差数列,且,求的值.16. (本小题满分14分)在斜三棱柱中,平面底面,点分别是线段、BC的中点A(第16题图)B1A1C1MBCD(1)求证:; (2)求证:AD/平面17. (本小题满分14分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口的O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(I)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(II)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.18. (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆W: 的离心率为,直线l:y2上的点和椭圆W上的点的距离的最小值为1() 求椭圆W的方程;() 已知椭圆W的上顶点为A,点B,C是W上的不同于A的两点,且点B,C关于原点对称,直线AB,AC分别交直线l于点E,F记直线与的斜率分别为, 求证: 为定值; 求CEF的面积的最小值. 19. (本小题满分16分)已知函数(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若时,函数与有相同极值点求实数的值;若对于(为自然对数的底数),不等式恒成立,求实数的取值范围20. (本小题满分16分)已知数列,其前项和满足,其中(1)设,证明:数列是等差数列;(2)设,为数列的前项和,求证:;(3)设(为非零整数,),试确定的值,使得对任意,都有成立参考答案及评分标准1. 2.充分不必要 3.【解析】元分成份,可能性有,第一个分法有种,第二个分法有种,第三个分法有种,其中符合“最佳手气”的有种,故概率为.4.【解析】由流程图可知,该流程图计算输入值 除去自身的约数的个数, 的非自身约数: ,共 个,即输出值: .5. 66. 97. 【解析】 ,函数在区间 上单调递增,设方程的三个根为 ,且 ,结合 可知: ,结合等差数列的性质可知: ,即: .8. 【解析】9. 【解析】由得, 时, 不可能是三角形的三边长, 时三边长为,设最大角为,则, ,外接圆半径为,则10. 11.【解析】12.【解析】两两垂直,又因为三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上,所以以为棱的长方体的对角线即为球的一条直径, ,则由基本不等式可得, ,即,则三棱锥的侧面积,则三棱锥的侧面积的最大值为,故答案为.13. 【解析】依题意可知关于对称的函数为,即,故函数图像与在区间上有交点,分别将代入,求得,故. 故取值范围是.14. 【解析】因为,不失一般性,设,则,解之得代入|+|1得|xy|+|2y|2,其可行域如图所示则所求面积为S=24=4二、解答题(本大题共6小题,共90分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. 【解析】(1),由得, ,故的单调递增区间是.(2), , ,于是,故.由成等差数列得: ,由得: ,由余弦定理得: ,于是, .16. 略17. 【解析】(I)海里/小时;(II)海里/小时18. 【解析】()由题知,由, 所以故椭圆的方程为 () 证法一:设,则,因为点B,C关于原点对称,则,所以证法二:直线AC的方程为, 由得,解得,同理,因为B,O,C三点共线,则由,整理得,所以 直线AC的方程为,直线AB的方程为,不妨设,则,令y2,得,而,所以,CEF的面积 由得,则 ,当且仅当取得等号,所以CEF的面积的最小值为点睛:对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等),利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组,再化为一元二次方程,从而利用根与系数的关系进行整体代换,达到“设而不求,减少计算”的效果,直接得定值圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值19. 【解析】(1)若时,恒成立; 若时,综上:时,函数的单调递减区间为,无单调递增区间;时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为5分(2)由(1)知时,是函数的极值点,所以是函数的极值点,解得经验证,当时,函数在时取到极小值,符合题意 8分,易知,由知.当时,;当时,.故在上为减函数,在上为增函数.,而.()当,即时,对于恒成立,又,.()当,即时,对于恒成立,又,.综上:所求实数的取值范围是16分20. 【解析】试题分析:(1)当时,得到,当时,即可化简,即可证得结论;(2)由(1)可得,利用乘公比错误相减法,即可求解数列的和;(3)由得,整理得,当为奇数时,;当为偶数时,由为非零整数,即可求解试题解析:(1)当时,当时,即,(常数),又,是首项为2,公差为1的等差数列,(2),相减得,(3)由,得,当为奇数时,;当为偶数时,又为非零整数,考点:数列的通项公式;数列的求和【方法点晴】本题主要考查了数列的综合应用,其中解答中涉及到等差数列的概念,数列的乘公比错误相减法求和,不等式的恒成立问题等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与化归思想的应用,本题的解答中根据数列的递推关系,熟练应用等差数列的性质和准确计算是解答的关键,试题有一定的难度,属于难题
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