一小波变换的定义给定一个基本函数(t ) ，令a,b (t )1( tb )（ 1.1）aa式中 a, b 均为常数，且 a 0。显然，a ,b (t ) 是基本函数(t ) 先作移位再作伸缩以后得到的。若 a,b 不断地变化，我们可得到一族函数a,b (t ) 。给定平方可积的信号x(t) ，即x(t ) L2 (R) ，则 x( t) 的小波变换（ Wavelet Transform， WT ）定义为WTx ( a, b)1x(t ) ( tb )dtaax(t )a, b (t )dtx( t), a, b( t)（ 1.2）式中 a, b 和 t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT ）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从到。信号 x(t) 的小波变换WTx (a,b) 是 a 和 b 的函数，b 是时移， a 是尺度因子。(t ) 又称为基本小波，或母小波。a,b (t ) 是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，（ 1.2）式的 WT 又可解释为信号 x(t ) 和一族小波基的内积。母小波可以是实函数， 也可以是复函数。 若 x(t ) 是实信号，( t) 也是实的，则 WTx (a,b)也是实的，反之，WTx (a,b) 为复函数。在（ 1.1）式中， b 的作用是确定对x(t ) 分析的时间位置， 也即时间中心。 尺度因子 a 的作用是把基本小波(t ) 作伸缩。我们在1.1 节中已指出，由(t) 变成 ( t ) ，当 a1时，若 a 越大，则 ( t ) 的时域支撑范围（即时域宽度）较之a( t) 变得越大，反之，当a1时，aa 越小，则( t ) 的宽度越窄。这样，a 和 b 联合越来确定了对x(t) 分析的中心位置及分析a的时间宽度。这样，（ 1.2）式的 WT 可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对x(t ) 作分析， 由下一节的讨论可知， 这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。（ 1.1）式中的因子1是为了保证在不同的尺度a 时，a, b (t ) 始终能和母函数(t ) 有a着相同的能量，即221( tb ) dta ,b (t ) dtaa令 tbt ，则 dtadt2dt 。，这样，上式的积分即等于( t)a令 x(t ) 的傅里叶变换为X( )，(t ) 的傅里叶变换为() ，由傅里叶变换的性质，a , b (t ) 的傅里叶变换为：a, b (t )1( t b)a, b ( )a ( a )e j b（ 1.3）aa由 Parsevals 定理，（ 1.2）式可重新表为：1X (),a,b ()WTx ( a, b)2aX ()(a)e j bd（ 1.4）2此式即为小波变换的频域表达式。二小波变换的特点比较（ 1.2）和（ 1.4）式对小波变换的两个定义可以看出，如果a, b ( t) 在时域是有限支撑的，那么它和x(t ) 作内积后将保证WTx ( a, b) 在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即使WTx( a,b) 反映的是 x(t ) 在 b 附近的性质。同样，若a ,b ( ) 具有带通性质， 即 a ,b ( ) 围绕着中心频率是有限支撑的，那么 a,b ()和 X() 作内积后也将反映 X ( ) 在中心频率处的局部性质， 从而实现好的频率定位性质。显然， 这些性能正是我们所希望的。问题是如何找到这样的母小波(t ) ，使其在时域和频域都是有限支撑的。若 (t ) 的时间中心是 t0 ，时宽是t ， () 的频率中心是0 ，带宽是，那么 ( t )( t ) 的频谱 aa的时间中心仍是 t 0 ，但时宽变成 a t ，( a ) 的频率中心变为0 / a ，带宽a变成/ a 。这样， ( t ) 的时宽带宽积仍是t，与 a 无关。这一方面说明小波变换a的时频关系也受到不定原理的制约，但另一方面， 也即更主要的是揭示了小波变换的一个性质，也即恒 Q 性质。定义Q/ 0 =带宽 /中心频率(1.5)为母小波(t ) 的品质因数，对( t ) ，其a带宽 /中心频率 =/ aQ/00 / a因此，不论 a 为何值 (a0) ， ( t ) 始终保持了和(t ) 具有性同的品质因数。恒Q 性质是a小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换且被广泛应用的一个重要原因。图2.1 说明了( ) 和 ( a) 的带宽及中心频率随a 变化的情况。aa/ 2200 / 21， (b) a20图 2.1(a ) 随 a 变化的说明； (a) a2， (c) a 1/ 2我们可看到小波变换在对信号分析时有如下特点：当a 变小时，对x( t) 的时域观察范围变窄，但对X () 在频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动，如图2.1c所示。反之，当a 变大时，对x(t) 的时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动，如图2.1b 所示。将时频关系结合在一起，我们可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系，如图2.2 所示。t / 2( a1/ 2)220( a1)0t( a 2)0 / 22 t/ 20图 2.2a 取不同值时小波变换对信号分析的时频区间由于小波变换的恒Q 性质，因此在不同尺度下，图2.2 中三个时、频分析区间（即三个矩形） 的面积保持不变。由此我们看到，小波变换为我们提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口。 该分析窗口在高频端（图中 20 处）的频率分辨率不好 （矩形窗的频率边变长） ，但时域的分辨率变好（矩形的时间边变短）；反之，在低频端（图中0 / 2 处），频率分辨率变好，而时域分辨率变差。但在不同的 a 值下，图 2.2 中分析窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的需要作出调整。众所周知， 信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等。对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。与此相反，低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽， 同时分析的中心频率也应移到低频处。 显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。总结上述小波变换的特点可知， 当我们用较小的 a 对信号作高频分析时， 我们实际上是用高频小波对信号作细致观察， 当我们用较大的 a 对信号作低频分析时， 实际上是用低频小波对信号作概貌观察。 如上面所述， 小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。我们知道， 傅里叶变换的基函数是复正弦。这一基函数在频域有着最佳的定位功能（频域的 函数），但在时域所对应的范围是，完全不具备定位功能。这是FT 的一个严重的缺点。人们希望用短时傅里叶变换来弥补FT 的不足。重写（1.1）式，即STFTx (t , )x()g (t) e j t dtx() gt , ()dx(), g(t )e j(2.6)由于该式中只有窗函数的位移而无时间的伸缩，因此，位移量的大小不会改变复指数e j的频率。同理，当复指数由e j变成 e j 2（即频率发生变化）时，这一变化也不会影响窗函数 g( ) 。这样，当复指数 e j的频率变化时， STFT 的基函数 gt , ( ) 的包络不会改变，改变的只是该包络下的频率成份。这样，当由0 变化成 2 0 时， gt , ( ) 对 x() 分析的中心频率改变，但分析的频率范围不变，也即带宽不变。因此，STFT 不具备恒 Q性质，当然也不具备随着分辨率变化而自动调节分析带宽的能力。M 通道最大抽取滤波器组是将x( n) 分成 M 个子带信号， 每一个子带信号需有相同的带宽，即 2 /M，其中心频率依次为k , k0,1, M1（注：若是 DFT 滤波器组，则中心频率在 2Mk , k 0,1, M1 ），且这 M 个子带信号有着相同的时间长度。在小波变M换中，我们是通过调节参数a 来得到不同的分析时宽和带宽，但它不需要保证在改变a 时使所得到的时域子信号有着相同的时宽或带宽。这是小波变换和均匀滤波器组的不同之处。可知，离散小波变换是通过“多分辨率分析”来实现的，而“多分辨率分析”最终是由两通道滤波器组来实现的。由（ 1.1）式，定义21( t b )dt2WTx (a, b)x(t)(2.7)aa