高中数学 第二章 平面向量 第二讲 向量的线性运算1 向量的加减法学案 苏教版必修1向量的加法一、考点突破知识点课标要求题型说明向量的加法1. 了解向量加法在物理学中的背景知识；2. 掌握向量加法的运算（三角形法则和平行四边形法则），理解向量加法的几何意义；3. 会推导向量加法的交换律与结合律选择填空高考必考向量的加法要注意向量的“形”的应用二、重难点提示重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则；难点：向量加法的交换律与结合律的推导。向量的减法一、考点突破知识点课标要求题型说明向量的减法1. 了解相反向量的概念；2. 了解差向量的概念和向量加法与减法间的关系；（重点）3. 掌握向量减法运算，并理解其几何意义（难点）选择填空高考必考向量的减法要注意向量的“形”的应用二、重难点提示重点：相反向量的概念及向量的加法与减法之间的关系。难点：掌握向量减法运算，并理解其几何意义。向量的加法一、向量加法的定义及运算法则1. 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。其中。2. 向量加法的运算法则（1）三角形法则：如图1，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作a，b，则向量叫做a与b的和，记做ab，即ab。图1（2）平行四边形法则：把向量a，b平移到同一点O，如图2，作出平行四边形，则ab。图2【核心归纳】准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则（1）两个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和，但是在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性，因此向量加法的三角形法则和它的平行四边形法则都应该熟练掌握。（2）当两个向量不共线时，两个法则是一致的。（3）在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同。二、向量加法的运算律（1）交换律：abba；（2）结合律：（ab）ca（bc）。【核心突破】（1）两个向量的和仍然是一个向量。（2）当两个非零向量a与b不共线时，ab的方向与a，b都不相同，且。（3）特殊位置关系的两向量的和向量a与b同向，则ab与a、b方向相同，则；向量a与b反向，若ab与b方向相同，则。（4）向量加法广泛应用于力的合成、速度的合成等。示例：在四边形ABCD中，试判断四边形的形状。思路分析：要结合图形中的三角形运用加、减法的法则。答案：如图所示由向量加法的三角形法则得即ABDC，且四边形ABCD是平行四边形。技巧点拨：如果再添上，那么四边形ABCD是菱形；如果垂直，那么四边形ABCD是矩形。向量的减法一、向量的减法定义如果，则向量叫做与的差，记为，求两个向量差的运算叫做向量的减法。【要点诠释】向量的减法是向量的加法的逆运算，利用相反向量的定义，就可以把减法转化为加法。二、向量减法的运算法则三角形法则在平面内任取一点O，作，则，即表示从减向量的终点指向被减向量的终点的向量。【要点诠释】1. 向量的减法运算与向量的加法运算可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。2. 以向量为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线，。向量的加法例题1 （向量加法的化简与运算） 化简或运算：如图所示，梯形ABCD中，8，10，试求。思路分析：利用三角形法则，先求和向量，再求模。答案：如图所示，作，则，结合图形可知1082。技巧点拨：求向量的和要考虑用向量加法的运算律和运算法则，求和的关键是利用向量加法的三角形法则，在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个向量的和是以第一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。此类题要利用运算律将“首尾相接”的两个向量分在一组，多个向量求和也要注意首尾相连。例题2 （向量加法在平面几何中的应用）如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且，。求证：四边形ABCD是平行四边形。思路分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，只需证明，且A，B，C，D不在一条直线上即可。答案：由向量的加法法则，知：，又，A，B，C，D不在一条直线上，AD与BC平行且相等，四边形ABCD是平行四边形。技巧点拨：利用向量的加法可以得到线段的平行和相等，用向量法解几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后再把向量问题还原成几何问题。向量的减法例题1（已知向量作和（差）向量）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc。思路分析：先将a，b首尾相连，作出ab，然后根据向量减法的定义作ab与c的差向量。答案：作法一如图（1）所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc；作法二如图（2）所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，过点B作c，则abc。【重要提示】1. 求作向量的和与差就是三角形法则或平行四边形法则的运用。2. 求作向量的差可以转化为两个向量的和进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量。3. 作图时一定要注意箭头的方向。例题2 （向量加减法的基本运算）化简：（）（）。思路分析：思路一：相反向量法，即把向量的减法转化成向量的加法求解；思路二：利用减法的几何意义，即利用向量减法的三角形法则求解；思路三：向量分解法，即把向量转化成从一点出发的两向量的差向量，如等。答案：方法一（利用相反向量）（）（）；方法二（利用向量减法的几何意义）（）（）（）；方法三（利用）设O是平面内任意一点，则（）（）（）（）（）（）；技巧点拨：1. 向量减法运算的常用方法：2. 注意在满足下列两种形式的情况下可以化简：（1）首尾相连且为和；（2）起点相同且为差。做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用。 向量的加法忽视零向量与数0的区别致误化简。【错解】。【错因分析】错解的原因是混淆了数0和零向量这两个不同的概念，结果应为零向量。【防范措施】向量相加或相减，其结果仍然是向量，注意与0的不同。【正解】。向量的减法利用“形”解决向量的模的求值问题已知非零向量a，b满足|a|1，|b|1，且|ab|4，求|ab|的值。思路分析：解答本题可先由|a|，|b|及|ab|出发，找出三者之间的数量关系，从而进一步判断三角形的形状，再求|ab|的值。答案：如图，a，b，则|ab|，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则|ab|，由于（1）2（1）242.故，所以AOB是AOB为90的直角三角形，从而OAOB，所以四边形OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有4，即|ab|4。技巧点拨：向量在平面几何中的应用一般有两种题型：（1）以平面几何为背景的向量计算、证明问题；（2）利用向量运算证明平面几何问题，这是向量的主要应用。解题的关键是应用向量加法、减法的几何意义，对相关向量进行合理转化。