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2022-2023学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(197)一、 填空题(每小题8分,共64分)1. 设.若,则的取值范围是.2. 已知直线与抛物线交于两点,过的圆与抛物线交于另外两个不同的点.则直线的倾斜角的余弦值为.3. 在内,的最大值为.4. 称的一个全排列为“好排列”:满足存在唯一的,使得.若好排列的个数为,则.5. 在四面体中,已知,且.则最大值的取值范围是.6. 设为等差数列,且.则项数的最大值为.7. 已知,满足则.8. 用表示不超过实数的最大整数,令.则满足的所有自然数的平方和为.二、解答题(共56分)9.(16分)在正项数列中,其前项和满足.令.证明:对于任意的,均有.10.(20分)已知曲线是以原点为中心、和分别为左和右焦点的椭圆,曲线是以为顶点、为焦点的抛物线,为曲线与的交点,且为钝角,过点作一条与轴不垂直的直线,分别与曲线依次交于四点,其中,点在曲线上,点在曲线上.设为的中点,为的中点.求的值.11.(20分)设为任意三角形的两个内角.若存在,使得不等式成立,求实数的取值范围.一、 (40分)如图1,为锐角的垂心,点分别在边上,直线与的延长线交于点,直线与的延长线交于点,为的外心.证明:(1) ;(2) 若,点与在直线的同侧,且三点共线,则为正三角形.二、(40分)设.求最大的实数,使得对任意满足的实数,有.三、(50分)设为有理数,且与为相等的整数.证明:存在整数,满足,其中,.四、(50分)设为集合的任意三个元子集,且.问:是否存在,使得其中某两个数的和等于第三个数?
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