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2.6 距离的计算基础达标已知AB,BC,CD为两两垂直的三条线段,且它们的长都为2,则AD的长为()A4B2C3D2解析:选D.法一:取以AB、BC、CD为棱的正方体,易得|AD|2|AB|2|BC|2|CD|2,|AD|2.法二:取基底,则,2()222222212.|AD|2.已知直线l过定点A(2,3,1),且方向向量为n(0,1,1),则点P(4,3,2)到l的距离为()A.BC.D解析:选A.(2,0,1),|,则点P到直线l的距离d .如图,已知平面、平面的夹角为120,AC在内,BD在内,且ACAB,BDAB,ABACBDa,则CD的长是() AaB2aC3aD4a解析:选B.因为,所以|2()()|2|2|22()a2a2a22a2cos 604a2,所以|2a,CD2a.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则直线A1C1到平面ACD1的距离为()A1BC.D解析:选B.建立如图所示的空间直角坐标系,易求得平面ACD1的一个法向量为n(1,1,1),故所求距离为C1到平面ACD1的距离,d.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1到平面BDC1的距离为()A.aBaC.aDa解析:选D.明显A1C平面AB1D1,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则面AB1D1的一个法向量为n(1,1,1),A(a,0,0),B(a,a,0),(0,a,0),则两平面间的距离为d|a.平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB1,AD2,AA13,BAD90,BAA1DAA160,则AC1的长为_解析:取基底,则,2()2222222122232223cos 60213cos 6023.故|.答案:三棱锥SABC中,SA平面ABC,ABAC,且ASABAC2,D是SA的中点,则点D到BC的距离为_解析:如图所示,建立空间直角坐标系,则D(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),(2,0,1),(2,2,0),在上的投影长为,故D到BC的距离为 .答案:已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点,则点C1到平面AB1D的距离为_解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(a,a,0),B1(a,a),D(0,a,),C1(0,a,a),设平面AB1D的法向量为n(x,y,z),则,即.,取z2,则y1,x,n(,1,2),(0,0,),则点C1到平面AB1D的距离为a.答案:a在如图所示的空间直角坐标系中有长方体ABCDABCD,且ABAD1,BB2,M,N分别是AD,DC的中点,求直线AC与直线MN的距离解:依据长方体的性质可知ACMN,故两直线间的距离为点M到直线AC的距离由题意得(1,1,0),(0,2)所以点M到直线AC的距离d .如图,在四棱锥SABCD中,ADBC且ADCD,平面CSD平面ABCD,CSDS,CS2AD2,E为BS的中点,CE,AS.求点A到平面BCS的距离解:如图,以S(O)为坐标原点,OD、OC所在直线分别为x轴、y轴,建立空间直角坐标系设A(xA,yA,zA),因平面COD平面ABCD,ADCD,故AD平面COD,即点A在xOz平面上,因此yA0,zA|1.又x12|23,xA0,解得xA.从而A(,0,1)因ADBC,故BC平面CSD,即平面BCS与平面yOz重合,从而点A到平面BCS的距离为xA.能力提升在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P,Q分别为线段BD1,CC1上的动点,则PQ的最小值为()A.BC.D解析:选D.PQ的最小值即为异面直线CC1,BD1间的距离,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D1(0,1,1),C(1,1,0),C1(1,1,1),所以(1,1,1),(0,0,1),设Q(1,1,z),z0,1,令(0,1),则(,),(1,),(,1,z),z,即P(,),Q(1,1,),故|PQ|.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面为直角梯形,ABCD且ADC90,AD1,CD,BC2,AA12,E是CC1的中点,则A1B1到平面ABE的距离是_解析:取DD1的中点F,连接EF、AF,则EFCDAB,A、B、E、F四点共面,又A1B1平面ABEF,A1B1到平面ABE的距离等于A1到平面ABEF的距离法一:在矩形ADD1A1中,AA12,AD1,A1FAF,又平面ADD1A1平面ABEF,A1F平面ABEF,A1F.法二:建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,2),E(0,1),F(0,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(0,0),又0,0,(1,0,1)为平面ABEF的一个法向量,(0,0,2),A1到平面ABEF的距离为.答案:如图所示,棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为BB1,C1C的中点,DGDD1,过E,F,G的平面交AA1于点H,求A1D1到平面EFGH的距离解:如图所示,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则由题意可知E(1,1,),F(0,1,),G(0,0,),D1(0,0,1).(1,0,0),(0,1,),设平面EFGH的法向量n(x,y,z),则n0且n0,即令z6,可得n(0,1,6)又(0,1,),A1D1到平面EFGH的距离为.4已知斜三棱柱ABCA1B1C1,BCA90,ACBC2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1AC1.(1)求证:AC1平面A1BC;(2)求点C1到平面A1AB的距离解:(1)证明:如图,取AB的中点E,连接DE,则DEBC,因为BCAC,所以DEAC,且A1D平面ABC,以射线DE,DC,DA1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系,则A(0,1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),设A1(0,0,t),C1(0,2,t),其中t0,则(0,3,t),(2,1,t),(2,0,0),0,AC1CB,又BA1AC1,AC1平面A1BC.(2)由(1)知AC1平面A1BC,3t20,得t.设平面A1AB的法向量为n(x,y,z),(0,1,),(2,2,0),所以设z1,则n(,1)所以点C1到平面A1AB的距离d.
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