第4讲 幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如的函数叫作指数函数，其定义域为，值域为当时，是减函数，当时，为增函数，它的图像恒过定点二、分数指数幂三、对数函数及其性质对数函数的定义域为，值域为，图像过定点它是指数函数的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出当时，为减函数，当时，为增函数四、对数的运算性质（1）（这是定义）；（2）；（3）；（4）；（5）（换底公式）由以上性质（4）、（5）容易得到以下两条推论：1）；2）典型例题剖析例1 已知是方程的根，是方程的根，求的值例2已知，求的值例3已知函数，试解不等式例4设方程仅有一个实根，求的取值范围例5解不等式例6解不等式：例7 已知证明：例8设函数，实数，满足，求、的值同步训练一、选择题1已知、是方程的两个根，则（ ）ABCD2已知函数为常数，），且，则的值是（ ）A8B4CD3如果，则使的的取值范围为（ ）ABCD4若的值域为，则的取值范围是（）ABC或D或二、填空题5设，则满足的的取值范围是 6设，则与的大小关系为 7设，则不等式的解集为 8设，则 三、解答题9已知函数的反函数是，而且函数的图像与函数的图像关于点对称（1）求函数的解析式；（2）若函数在上有意义，求的取值范围10设，其中且若在区间上恒成立，求的取值范围11解方程组，（其中12已知（1）解方程；（2）求集合的子集个数13已知，试求使得方程有解的的取值范围14已知，求的首位数字15已知，试判断实数与的大小关系，并证明之16解不等式第4讲例1【解法1】由题意得，表明是函数与的交点的横坐标，是函数与的交点的横坐标因为与互为反函数，其图像关于对称，由得，所以，所以【解法2】构造函数，由知，即，则，于是，又为上的增函数，故，【解法3】由题意得，两式相减有若，则，得，矛盾；若，则，得，矛盾；而当时，满足题意【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧例2【解法1】设，则，由于故，解得：（负根舍去）【解法2】设，则，而，故，即，故（负根舍去）【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理例3【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键【解】易证函数在其定义域内是单调减函数并且，所以原不等式即为等价于或【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法例4【分析】本题要注意函数的定义域【解法1】当且仅当时原方程仅有一个实根，对方程使用求根公式，得或当时，由方程，得所以，同为负根又由方程程知所以原方程有一个解当时，原方程有一个解当时，由方程，得所以，同为正根，且，不合题意，舍去综上所述可得或为所求【解法2】由题意，方程，也即方程在满足关于的不等式的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：（1）当时，在范围内有唯一实数根，则有；（2）当时，在范围内有唯一实数根，则有综上可得或为所求【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题例6【分析】若考虑到去根号，可设，原不等式变为，即，陷入困境原不等式即，设，则，同样陷入困境下面用整体代换【解】设，则，代人原不等式，有，由指数函数的单调性知，则故原不等式的解集为例7 【证法1】注意到【证法2】设，则，于是原不等式等价于，即，即，也即也即，由知，所以，得证因为，所以，所以即【评注】若令，则原不等式等价于：设，求证：例8【分析】利用已知条件构建关于、的二元方程组进行求解【解】因为，所以所以，或，又因为，所以+2，所以又由于，于是，所以，从而，又，所以，故解得或（舍去）把代故，解得所以，1【答案】【解析】原方程变形为，即令，则，解得所以或，方程的两根分别为和，所以故选2【答案】【解析】由已知可得，又，令，则有从而有，即知，3【答案】【解析】显然，且要使当时，即；当时，此时无解由此可得，使得的的取值范围为应选4【答案】【解析】由题目条件可知，故，解得或选5【答案】【解析】定义域在定义域内单调递增，且故的的取值范围为6【答案】【解析】根据条件知，因为，所以为减函数，所以，于是7【答案】【解析】原不等式即为因为的定义域为，且为减函数所以解得8【答案】3【解析】9【解析】（1）由，得又函数的图像与函数的图像关于点对称，则，于是，（2）由（1）的结论，有要使有意义，必须满足又，故由题设在上有意义，所以，即于是，10【解析】由得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增若，则在区间上单调递减，所以在区间，上的最大值为在区间上不等式恒成立，等价于不等式log恒成立，从而，解得或结合，得若，则在区间上单调递增，所以在区间，上的最大值为在区间上不等式恒成立，等价于不等式恒成立，从而，即，解得易知，所以不符合综上所述，的取值范围为11【解析】两边取对数，则原方程组可化为把式代入式，得，所以由，得；代入式，得由得代入式得，即，所以又，所以所以方程组的解为，12【解析】（1）任取，则，因为，所以故，因为，所以，为上的减函数，注意到，当时，；当时，所以有且仅有一个根（2）由所以，所以或的子集的个数是413【解析】由对数性质知，原方程的解应满足 若式（1）、式（2）同时成立，则式（3）必成立，故只需要解由式（1）可得 （4）当时，式（4）无解；当时，式（4）的解是，代人式（2），得若，则，所以；若，则，所以综上所述，当时，原方程有解14【解析】所以故为6533位数，由，得说明的首位数字是515【解析】令，则，可见猜想下面用反证法证明：若，则，所以，即，而函数和在上均为减函数，且所以这与矛盾，故16【解析】原不等式等价于由于为单调递增函数，于是，两端同时除以，并整理得构造函数，则上述不等式转化为显然在上为增函数于是以上不等式等价于，即，解得故原不等式的解集为学科网（北京）股份有限公司