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第4讲 幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如的函数叫作指数函数,其定义域为,值域为当时,是减函数,当时,为增函数,它的图像恒过定点二、分数指数幂三、对数函数及其性质对数函数的定义域为,值域为,图像过定点它是指数函数的反函数,所有性质均可由指数函数的性质导出当时,为减函数,当时,为增函数四、对数的运算性质(1)(这是定义);(2);(3);(4);(5)(换底公式)由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论:1);2)典型例题剖析例1 已知是方程的根,是方程的根,求的值例2已知,求的值例3已知函数,试解不等式例4设方程仅有一个实根,求的取值范围例5解不等式例6解不等式:例7 已知证明:例8设函数,实数,满足,求、的值同步训练一、选择题1已知、是方程的两个根,则( )ABCD2已知函数为常数,),且,则的值是( )A8B4CD3如果,则使的的取值范围为( )ABCD4若的值域为,则的取值范围是()ABC或D或二、填空题5设,则满足的的取值范围是 6设,则与的大小关系为 7设,则不等式的解集为 8设,则 三、解答题9已知函数的反函数是,而且函数的图像与函数的图像关于点对称(1)求函数的解析式;(2)若函数在上有意义,求的取值范围10设,其中且若在区间上恒成立,求的取值范围11解方程组,(其中12已知(1)解方程;(2)求集合的子集个数13已知,试求使得方程有解的的取值范围14已知,求的首位数字15已知,试判断实数与的大小关系,并证明之16解不等式第4讲例1【解法1】由题意得,表明是函数与的交点的横坐标,是函数与的交点的横坐标因为与互为反函数,其图像关于对称,由得,所以,所以【解法2】构造函数,由知,即,则,于是,又为上的增函数,故,【解法3】由题意得,两式相减有若,则,得,矛盾;若,则,得,矛盾;而当时,满足题意【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法,解法2巧妙地利用了函数的单调性,解法3巧妙地利用了反证法的技巧例2【解法1】设,则,由于故,解得:(负根舍去)【解法2】设,则,而,故,即,故(负根舍去)【评注】对数运算和指数运算互为逆运算,有关对数的运算和处理,往往可以转化为指数的运算和处理例3【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合初看不易解决,但可以发现该函数在其定义域内单调递减,这是本题的解题关键【解】易证函数在其定义域内是单调减函数并且,所以原不等式即为等价于或【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法例4【分析】本题要注意函数的定义域【解法1】当且仅当时原方程仅有一个实根,对方程使用求根公式,得或当时,由方程,得所以,同为负根又由方程程知所以原方程有一个解当时,原方程有一个解当时,由方程,得所以,同为正根,且,不合题意,舍去综上所述可得或为所求【解法2】由题意,方程,也即方程在满足关于的不等式的范围内有唯一实数根,以下分两种情况讨论:(1)当时,在范围内有唯一实数根,则有;(2)当时,在范围内有唯一实数根,则有综上可得或为所求【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题例6【分析】若考虑到去根号,可设,原不等式变为,即,陷入困境原不等式即,设,则,同样陷入困境下面用整体代换【解】设,则,代人原不等式,有,由指数函数的单调性知,则故原不等式的解集为例7 【证法1】注意到【证法2】设,则,于是原不等式等价于,即,即,也即也即,由知,所以,得证因为,所以,所以即【评注】若令,则原不等式等价于:设,求证:例8【分析】利用已知条件构建关于、的二元方程组进行求解【解】因为,所以所以,或,又因为,所以+2,所以又由于,于是,所以,从而,又,所以,故解得或(舍去)把代故,解得所以,1【答案】【解析】原方程变形为,即令,则,解得所以或,方程的两根分别为和,所以故选2【答案】【解析】由已知可得,又,令,则有从而有,即知,3【答案】【解析】显然,且要使当时,即;当时,此时无解由此可得,使得的的取值范围为应选4【答案】【解析】由题目条件可知,故,解得或选5【答案】【解析】定义域在定义域内单调递增,且故的的取值范围为6【答案】【解析】根据条件知,因为,所以为减函数,所以,于是7【答案】【解析】原不等式即为因为的定义域为,且为减函数所以解得8【答案】3【解析】9【解析】(1)由,得又函数的图像与函数的图像关于点对称,则,于是,(2)由(1)的结论,有要使有意义,必须满足又,故由题设在上有意义,所以,即于是,10【解析】由得,由题意知,故,从而,故函数在区间上单调递增若,则在区间上单调递减,所以在区间,上的最大值为在区间上不等式恒成立,等价于不等式log恒成立,从而,解得或结合,得若,则在区间上单调递增,所以在区间,上的最大值为在区间上不等式恒成立,等价于不等式恒成立,从而,即,解得易知,所以不符合综上所述,的取值范围为11【解析】两边取对数,则原方程组可化为把式代入式,得,所以由,得;代入式,得由得代入式得,即,所以又,所以所以方程组的解为,12【解析】(1)任取,则,因为,所以故,因为,所以,为上的减函数,注意到,当时,;当时,所以有且仅有一个根(2)由所以,所以或的子集的个数是413【解析】由对数性质知,原方程的解应满足 若式(1)、式(2)同时成立,则式(3)必成立,故只需要解由式(1)可得 (4)当时,式(4)无解;当时,式(4)的解是,代人式(2),得若,则,所以;若,则,所以综上所述,当时,原方程有解14【解析】所以故为6533位数,由,得说明的首位数字是515【解析】令,则,可见猜想下面用反证法证明:若,则,所以,即,而函数和在上均为减函数,且所以这与矛盾,故16【解析】原不等式等价于由于为单调递增函数,于是,两端同时除以,并整理得构造函数,则上述不等式转化为显然在上为增函数于是以上不等式等价于,即,解得故原不等式的解集为学科网(北京)股份有限公司
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